对数与指数函数的求导

Derivative of Logarithm and Exponential Function

背景

在了解自然常数e与对数的历史背景之后，对其相关的问题有了兴趣。本文的根源来自对指数函数求导的困难.

指数求导遇到的困难

$$(a^x)' = \lim_{dx\to 0}\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx} = \lim_{dx\to 0}a^x(\frac{a^{dx}-1}{dx})$$

对于$\lim_{dx\to 0}\frac{a^{dx}-1}{dx}$
无法转化成e的形式，通过表达式的可见，这也是指数函数在x=0处的导数.

指数函数的直接求导不成功，从它的反函数对数入手，让对数函数的变量为指数函数，于是有了对复合函数的求导。
所以顺带推导复合函数求导公式

后经过查阅，发现有网友已经化解了这个表达式。见 化解x=0导数

在对对数函数求导之前，先明确几个对数规律。

规律1

$$\log_BA = \frac{\ln A}{\ln B}$$

规律1证明

$$A = e^a \quad B = e^b$$

$$A = B^{\log_BA}$$

$$e^a = e^{b\log_BA}$$

$$a = b\log_BA$$

$$\log_BA = \frac{a}{b} =\frac{\ln A}{\ln B}$$

规律2

$$\log_AB = \frac{1}{\log_BA}$$

规律2证明

$$\log_BA = \frac{\ln A}{\ln B} = \frac{1}{\frac{\ln B}{\ln A}} = \frac{1}{\log_AB}$$

规律3(复合函数求导)

$$(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

$(f(g(x)))'$表示对复合函数求导，$f'(g(x))$表示f在$g(x)$处的导数

规律3证明

$$(f(g(x)))' = \lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx}$$

$$=\lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx} \cdot \frac{g(x+dx)-g(x)}{g(x+dx)-g(x)}$$

$$=\lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{g(x+dx)-g(x)} \cdot \frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}$$

$$=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

复合函数求导应用

$$(f(f^{-1}(x)))'= f'(f^{-1}(x)) \cdot {f^{-1}}'(x) = (x)' = 1$$

$${f^{-1}}'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

对数函数求导

$$( \ln x )' =\lim_{dx\to 0} \frac{\ln (x+dx) - \ln (x)}{dx} =\lim_{dx\to 0} \frac{\ln \frac{x+dx}{x}}{dx}$$

$$= \lim_{dx\to 0}\ln (\frac{x+dx}{x})^{\frac{1}{dx}}$$

$$= \lim_{dx\to 0}\ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{1}{dx}}$$

$$= \lim_{dx\to 0}\frac{x}{x} \ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{1}{dx}}$$

$$= \lim_{dx\to 0}\frac{1}{x} \ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{x}{dx}}$$

令$t=\frac{x}{dx}$则上述表达式写成:

$$\frac{1}{x} \lim_{t\to \infty} \ln (1 + \frac{1}{t})^{t}$$

$$= \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x}$$

$$(\log_ax)' = (\frac{\ln x}{\ln a})' = \frac{1}{x \ln a}$$

指数函数求导

因为有了对数函数导数与复合函数求导规律，所以容易推导指数函数导数:

$$(a^x)' = \frac{1}{\frac{1}{a^x \ln a}} =a^x \ln a$$

化解x=0导数

下面方法参考于网络：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_49fa93c101000doh.html

得到的启示是，对于趋于0或趋于无穷的表示式，是可以变换的，变换的运算过程可以得到很难直观发现的结果.

$$\lim_{t\to 0}(\frac{a^t-1}{t})$$

令$u=a^t-1$ 则 $t = loga(u+1)$

因为t趋于0，所以u趋于0.

上式可以写成：

$$\lim_{u\to 0}\frac{u}{log_a(u+1)} = \lim_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}log_a(u+1)} = \lim_{u\to 0}\frac{1}{log_a(u+1)^{\frac{1}{u}}} = \frac{1}{log_ae} = \ln a$$