变换矩阵的合并

变换矩阵的合并

本文主要总结矩阵乘法的一些思考。

点的平移与旋转可以用一个矩阵来完成吗？也就是说$PTR$可以写成$p(TR)$吗？

这个问题等价于变换矩阵满足乘法的结合律.答案是肯定的，下面证明之，为简化描述使用2维齐次坐标系。

首先说明一下矩阵乘法的一些性质：

• 结果的行数为第一个矩阵行数
• 列数为最后一个矩阵的列数
• 乘法可以理解为各维度分量配上系数之和

结合律证明

假设三个矩阵$A,B,C$的乘积为$ABC$.
其结果的第$i$行第$j$列，为A的第$i$行乘于B后再乘于C的第$j$列

问题可以化简为下面这三个矩阵是否满足结合律：

$$\left[\begin{array}{cc} x & y & w \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} i \\ j \\ k \\ \end{array}\right]$$

$$\begin{bmatrix} i \cdot a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot j \cdot x + a_{13} \cdot k \cdot x + i \cdot a_{21} \cdot y + a_{22} \cdot j \cdot y + a_{23} \cdot k \cdot y + i \cdot a_{31} \cdot w + a_{32} \cdot j \cdot w + a_{33} \cdot k \cdot w \\ \end{bmatrix}$$

$x, y, w$ 三个分量之和, 考察其中一个分量就可以了

对于x,第一次乘法的结果得到的系数分别为
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix}$
第二次乘法后，系数为
$a_{11} \cdot i+a_{12} \cdot j+a_{13} \cdot k$

这等效与后面那个矩阵相乘之后再乘于自己

出于方便书写的考虑，所以点坐标一般写成纵列式，即：

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ w \\ \end{bmatrix}$$

对应的变换矩阵放在左边：

$$\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} x \\ y \\ w \\ \end{array}\right]$$

与横行式写法的关系是：

$$(PA)^T = A^TP^T$$