复杂函数求导/对数指数幂公式

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#数学基础 #机器学习

本文介绍了指数、对数的基本公式，并详细探讨了复合函数的求导法则，通过实例解析了如何利用导数的四则运算和复合函数求导来解决复杂函数的导数问题，如 (x^-1) 和 (e^-x) 的导数计算。同时提到了逻辑斯谛颁函数的求导与逻辑斯谛密度函数的关系。

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指数、对数公式
https://wenku.baidu.com/view/69653d53f01dc281e53af0ba.html

求导公式
https://wenku.baidu.com/view/65d5968b3c1ec5da51e270b8.html?from=search

复合函数求导法则
https://baike.baidu.com/item/复合函数求导法则/15792114

复杂函数的求导，全部都是转换为复合函数的求导，并充分运用导数的四则运算:
( u(x) + v(x) )' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
(v(x)/u(x))' = (u(x)v'(x) - u'(x)v(x)) / u(x)^2

例如
1.  f(x) = (x^-1)' ?
     f(x) = (x^-1)' = (1/x)' = (x*1' - x'*1)/x^2 = -1/x^2
     利用了导数的四则运算
     可做作公式记住！
     
2. f(x) = (e^-x)' ?
    f(x) = (e^-x)' = e^-x * (-x)' = -e^-x
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高等数学——复杂函数的求导方法
TechFlow的博客
02-14 4973
本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注 上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。 我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。 函数四则运算求导法则 我们假设u...
深度学习的数学原理-复杂函数求导的链式传递及多变量近似公式
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03-08 2889
文章目录前言正文复杂函数求导神经网络中的复合函数单变量复合函数链式法则多变量函数链式法则函数的近似公式单变量函数的近似公式多变量函数的近似公式总结 排版可能更好一点的永久原文链接：深度学习的数学原理-复杂函数求导的链式传递及多变量近似公式 前言 前文中对导数、偏导数已经有了概念并能进行简单计算，本篇主要介绍单变量和多变量的复合函数如何求导，以及近似公式的计算 正文 复杂函数求导 如果一个函数比较复...
复杂函数的导数
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转载于:https://www.cnblogs.com/liuys635/p/11243130.html
多元复合函数的求导法则
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07-01 2838
复杂表达式的求导实现方法
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03-11 1370
在雅可比矩阵的计算中
对数与指数函数的求导
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Derivative of Logarithm and Exponential Function 背景在了解自然常数e与对数的历史背景之后，对其相关的问题有了兴趣。本文的根源来自对指数函数求导的困难.指数求导遇到的困难(ax)′=limdx→0ax+dx−axdx=limdx→0ax(adx−1dx) (a^x)' = \lim_{dx\to 0}\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx} =
基本函数求导公式.doc
10-12
本文档主要介绍基本函数求导公式，包括初等函数求导公式、函数的和、差、积、商的求导法、反函数求导法、复合函数求导法、双曲函数与反双曲函数的导数等。同时，也讨论了隐函数存在定理，包括隐函数存在定理、隐函数...
逻辑回归中的sigmoid函数及负对数似然函数求导
weixin_44943075的博客
05-08 3288
逻辑回归中的sigmoid函数及负对数似然函数求导： 查了好多笔记都是抄抄抄，中间有一步很简单但很关键，都没有展示，只能上笔了，记录一下： sigmoid函数： sigmoid(wx)=η(wx)=11+exp(−wx)sigmoid(wx)=\eta{(wx)}=\frac{1}{1+exp(-wx)}sigmoid(wx)=η(wx)=1+exp(−wx)1​ 负对数似然函数： L=−∑i[y...
全部初等基本函数求导公式和积分公式.pdf
11-15
在数学分析中，初等函数是一些基本的数学表达式，包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的反函数、复合函数等。这些函数的求导公式和积分公式是微积分学的基础，对于解决各种实际问题和理论计算至...
数论 · 幂函数求导
531 の 流 水 线
05-05 2237
前言 TC 讲课笔记。 正文 定义一个幂函数：f(x)=a1xb1+a2xb2+⋯+anxbn+Cf(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + \cdots + a_nx^{b_n} +Cf(x)=a1​xb1​+a2​xb2​+⋯+an​xbn​+C。（CCC 为常数。） 导数：反映一个函数的变化快慢。 对于一个一次函数： f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b，那么它的导数就是 kkk——kkk 反应了这条直线上的点的变化快慢，kkk 越大，yyy 值的变化越大。
导数公式
fxnfk
04-12 2841
常用导数公式
导数公式、导数运算法则、复合函数求导、幂指函数求导
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幂指函数及其求导
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01-08 1920
幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都含有自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。
指数复合函数的求导与欧拉方程
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指数复合函数的求导与欧拉方程： [f(et)]′=f′(et)∗et [f(e^t)]'=f'(e^t)*e^t[f(et)]′=f′(et)∗et xn∗y(n)+P1∗xn−1∗y(n−1)+……+Pn−1∗xn−1∗y′+Pny=f(x)x ^ { n }*y^{(n)}+P_{1}*x ^ { n-1}*y^{(n-1)}+……+P_{n-1}*x ^ { n-1}*y'+P_{n}y^=f(x)xn∗y(n)+P1​∗xn−1∗y(n−1)+……+Pn−1​∗xn−1∗y′+Pn​y=f(x) 令
复合函数求导你还不会？
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复合函数定义h(x)=f(g(x))首先给出其求导公式h'(x)=f'(g(x))g'(x)看着是不是很懵，先别管跟我步骤走~~~
对数导数的推导
chenbingchenbing的专栏
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<br />对数导数的推导<br />D(In(x))<br />GO<br />{In(x+small_x)-In(x)}/small_x<br />Go<br />In(1+small_x/x)/small_x<br />Go<br />In {(1+small_x/x)}^(1/small_x)<br />设small_x/x=1/t,<br />Go<br />In (1+1/t)^(t/x)<br />Go<br />In e^(1/x)<br />GO<br />1/x
【学习笔记】超简单的多项式对数（多项式求导 + 积分）
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整理的算法模板合集： ACM模板 目录多项式对数P4725 【模板】多项式对数函数（多项式 ln） 点我看多项式全家桶(●^◡_◡◡​^●) 多项式对数 其实非常简单，就是直接求导再积分即可。 P4725 【模板】多项式对数函数（多项式 ln） 直接简单实现一下就行了。 我们输入多项式 fff ，先求fff的导数 AAA ，fff 的逆元 BBB，然后把他们乘起来（NTTNTTNTT），最后求积分 ggg 既是答案，输出即可。 至于求导和积分，因为我们的多项式f(x)=a0+a1×x+a2×x2…an
用Python对数学函数进行求值、求偏导
DongHappyyy
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from sympy import * # x = Symbol("x") # y = diff(x**3+x, x) # print(y) # result = y.subs('x', 1) # print(result) x, y = symbols('x, y') z = x**2+y**2+x*y+2 print(z) result = z.subs({x: 1, y: 2}) ...
关于简单的部分数学函数用python求导的示例
2301_77177351的博客
08-06 700
基础内容，记录学习过程用
逻辑回归的损失函数（对数似然函数） 求导
最新发布
03-11
<think>好的，我现在需要帮助用户理解逻辑回归的损失函数，也就是对数似然函数的求导过程。首先，我得回顾一下逻辑回归的基本原理。逻辑回归虽然名字里有“回归”，但它实际上是一个分类模型，通常用于二分类问题。它的核心是使用sigmoid函数将线性组合映射到0到1之间，表示概率。 用户的问题是要求对数似然函数的导数，这通常是用来进行参数更新的，比如在梯度下降法中。对数似然函数的推导过程涉及到一些微积分，可能需要分步骤讲解。首先，我需要确认用户是否了解逻辑回归的假设和sigmoid函数的形式，因为这是推导的基础。 接下来，我应该回忆一下逻辑回归的损失函数，也就是对数似然损失函数。对于二分类问题，假设真实标签是y∈{0,1}，预测的概率是hθ(x)=σ(θ^T x)，其中σ是sigmoid函数。对数似然函数通常写作L(θ)=Σ [y_i log(hθ(x_i)) + (1-y_i) log(1-hθ(x_i))]，然后取负号作为损失函数，即J(θ)=-L(θ)。所以求导的时候实际上是针对J(θ)求导，然后更新参数θ。 现在需要对这个损失函数J(θ)关于θ_j求导。我需要分步骤来推导。首先，写出单个样本的损失项：对于第i个样本，损失是 -[y_i log(h_i) + (1-y_i) log(1-h_i)]，其中h_i=σ(θ^T x_i)。然后，整个损失函数是所有样本的平均，即J(θ)= (1/m) Σ 损失项。不过有时候也会省略1/m，因为缩放不会影响梯度的方向，只是影响步长。 接下来，对单个样本的损失关于θ_j求导。这里需要应用链式法则。首先，h_i = σ(z_i)，其中z_i = θ^T x_i。sigmoid函数的导数是σ'(z)=σ(z)(1-σ(z))。因此，dh_i/dθ_j = h_i(1-h_i) x_ij，这里的x_ij是第i个样本的第j个特征值。 然后，单个样本的损失对θ_j的导数是：- [y_i / h_i * dh_i/dθ_j - (1-y_i)/(1-h_i) * dh_i/dθ_j ]。合并项之后，可以得到 - [ y_i(1-h_i) x_ij - (1-y_i)h_i x_ij ]。进一步简化，得到 (h_i - y_i) x_ij。因为当y_i=1时，第二项消失，剩下h_i -1乘以x_ij，而当y_i=0时，第一项消失，得到h_i x_ij，但符号可能需要注意。这里可能需要仔细检查推导过程是否正确。 将整个损失函数的导数求平均后，得到梯度向量为 (1/m) Σ (h_i - y_i) x_i，其中x_i是第i个样本的特征向量。这个结果看起来简洁，但推导过程中需要确保每一步都正确，尤其是符号的处理。 用户可能需要详细的步骤解释，而不仅仅是最终结果。因此，我应该将整个过程分解开来，逐步说明，确保每个中间步骤都清晰。例如，先写出sigmoid函数及其导数，再处理单个样本的损失函数导数，最后扩展到所有样本的平均梯度。 还需要注意可能的误区，比如损失函数的选择，对数似然和交叉熵的关系，以及为什么使用梯度下降法来优化。同时，可能需要解释为什么导数结果如此简洁，以及它的实际意义，比如梯度反映了预测误差与特征值的乘积，这在参数更新中的作用。 此外，用户可能对为什么使用对数似然函数而不是其他损失函数感兴趣，比如平方误差。这里可以简要提到，平方误差在逻辑回归中会导致非凸的优化问题，而对数似然损失是凸的，更容易找到全局最优解。 最后，总结整个推导过程，并可能给出梯度下降更新参数的公式，即θ_j := θ_j - α * (梯度)，其中α是学习率。确保用户能够理解从损失函数到梯度计算的整个流程，以及如何应用于实际参数更新中。</think>--- ### **逻辑回归损失函数（对数似然函数）求导详解** 逻辑回归的损失函数（对数似然函数）的推导是理解模型参数优化的关键步骤。以下分步解析其求导过程： --- #### **1. 基础定义** - **逻辑回归模型**： 预测函数为Sigmoid函数： $$ h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}} $$ 其中，$\theta$ 为参数向量，$x$ 为特征向量。 - **损失函数（对数似然函数）**： 二分类问题中，负对数似然函数（交叉熵损失）为： $$ J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) \log (1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] $$ 其中，$m$ 为样本数量，$y^{(i)} \in \{0,1\}$ 为标签。 --- #### **2. 单样本导数推导** 以单个样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$ 为例，损失项为： $$ L^{(i)}(\theta) = -y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) - (1 - y^{(i)}) \log (1 - h_\theta(x^{(i)})) $$ **目标**：求 $\frac{\partial L^{(i)}}{\partial \theta_j}$（对参数 $\theta_j$ 的偏导）。 --- ##### **步骤1：计算 Sigmoid 函数的导数** Sigmoid 函数的导数为： $$ \sigma'(z) = \sigma(z)(1 - \sigma(z)) $$ 令 $z = \theta^T x^{(i)}$，则： $$ \frac{\partial h_\theta(x^{(i)})}{\partial \theta_j} = h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) \cdot x_j^{(i)} $$ --- ##### **步骤2：展开损失项对 $\theta_j$ 的偏导** 对 $L^{(i)}$ 求导： $$ \begin{aligned} \frac{\partial L^{(i)}}{\partial \theta_j} &= -\frac{y^{(i)}}{h_\theta(x^{(i)})} \cdot \frac{\partial h_\theta(x^{(i)})}{\partial \theta_j} + \frac{1 - y^{(i)}}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \cdot \frac{\partial h_\theta(x^{(i)})}{\partial \theta_j} \\ &= \left[ -\frac{y^{(i)}}{h_\theta(x^{(i)})} + \frac{1 - y^{(i)}}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \right] \cdot h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) \cdot x_j^{(i)} \\ \end{aligned} $$ --- ##### **步骤3：化简表达式** 合并项后： $$ \begin{aligned} \frac{\partial L^{(i)}}{\partial \theta_j} &= \left[ -y^{(i)}(1 - h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)}) \right] \cdot x_j^{(i)} \\ &= \left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) \cdot x_j^{(i)} \end{aligned} $$ --- #### **3. 全体样本的梯度** 对所有样本求平均梯度： $$ \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) x_j^{(i)} $$ 写成向量形式： $$ \nabla_\theta J(\theta) = \frac{1}{m} X^T (h_\theta(X) - Y) $$ 其中，$X$ 为设计矩阵，$Y$ 为标签向量。 --- #### **4. 直观解释** - **梯度含义**： 梯度是 **预测误差** $h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}$ 与 **特征值** $x_j^{(i)}$ 的乘积的平均值。 - **参数更新**： 梯度下降更新公式为： $$ \theta_j := \theta_j - \alpha \cdot \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} $$ 其中 $\alpha$ 为学习率。 --- #### **5. 关键点总结** | 步骤 | 核心公式/操作 | |-----------------------|-----------------------------------------------------------------------------| | 定义Sigmoid函数 | $h_\theta(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}}$ | | 损失函数（单样本） | $L^{(i)}(\theta) = -y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) - (1 - y^{(i)}) \log (1 - h_\theta(x^{(i)}))$ | | Sigmoid导数 | $\frac{\partial h_\theta}{\partial \theta_j} = h_\theta (1 - h_\theta) x_j^{(i)}$ | | 单样本梯度 | $\frac{\partial L^{(i)}}{\partial \theta_j} = (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)}$ | | 全体样本梯度 | $\nabla_\theta J(\theta) = \frac{1}{m} X^T (h_\theta(X) - Y)$ | --- #### **6. 扩展思考** - **凸性保证**：对数似然函数是凸函数，梯度下降可收敛到全局最优解。 - **与线性回归对比**：线性回归的梯度为 $\frac{1}{m} X^T (X\theta - Y)$，形式类似但预测函数不同。 - **实际应用**：梯度公式直接用于代码实现（如Python中向量化计算提升效率）。 --- **注**：此推导是逻辑回归理论的核心，理解后可直接推广到多分类（Softmax回归）场景。
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