POJ - 2486 :Apple Tree 树上有依赖背包

本文讲解了如何使用深度优先搜索(DFS)结合状态转移方程,解决在一棵树中从根节点出发,走k步时,最大化遍历权值的问题。着重于理解重复路径和是否返回节点的影响,并提供了相应的代码实现。

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题目描述

一颗树,n个点(1-n),n-1条边,每个点上有一个权值,求从1出发,走k步,最多能遍历到的权值。

分析

首先我们可以去dfs每一个为为根节点的时候,子树走 k k k步的时候的最大权值,但这里涉及到一位问题,因为每一条边可以重复走,所以会不会有回头的情况
我们用 f [ i ] [ j ] [ 0 / 1 ] f[i][j][0/1] f[i][j][0/1]表示在 i i i点的时候,走 k k k步,是否返回 i i i节点的情况下所能获得的最大权值,然去去状态转移就可以了

  • 如果返回 u u u点,那么
    f [ u ] [ j + 2 ] [ 1 ] = m a x ( f [ u ] [ j + 2 ] [ 1 ] , f [ u ] [ j − k ] [ 1 ] + f [ v ] [ k ] [ 1 ] ) ; f[u][j + 2][1] = max(f[u][j + 2][1],f[u][j - k][1] + f[v][k][1]); f[u][j+2][1]=max(f[u][j+2][1],f[u][jk][1]+f[v][k][1]);
  • 如果不返回 u u u点,停留在子树中
    f [ u ] [ j + 1 ] [ 0 ] = m a x ( f [ u ] [ j + 1 ] [ 0 ] , f [ u ] [ j − k ] [ 1 ] + f [ v ] [ k ] [ 0 ] ) ; f[u][j + 1][0] = max(f[u][j + 1][0],f[u][j - k][1] + f[v][k][0]); f[u][j+1][0]=max(f[u][j+1][0],f[u][jk][1]+f[v][k][0]);
  • 如果不返回 u u u点,不停留在子树中
    f [ u ] [ j + 2 ] [ 0 ] = m a x ( f [ u ] [ j + 2 ] [ 0 ] , f [ u ] [ j − k ] [ 0 ] + f [ v ] [ k ] [ 1 ] ) ; f[u][j + 2][0] = max(f[u][j + 2][0],f[u][j - k][0] + f[v][k][1]); f[u][j+2][0]=max(f[u][j+2][0],f[u][jk][0]+f[v][k][1]);

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 500,M = N;
int h[N],ne[M],e[M],idx;
int a[N];
int f[N][N][2];
int n,li;

void add(int x,int y){
    ne[idx] = h[x],e[idx] = y,h[x] = idx++;
}

void dfs(int u,int fa){
    for(int i = 0;i <= li;i++) f[u][i][0] = f[u][i][1] = a[u];
    for(int i = h[u];~i;i = ne[i]){
        int v = e[i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(int j = li;j >= 0;j--)
            for(int k = 0;k <= j;k++){
                f[u][j + 2][1] = max(f[u][j + 2][1],f[u][j - k][1] + f[v][k][1]);
                f[u][j + 1][0] = max(f[u][j + 1][0],f[u][j - k][1] + f[v][k][0]);
                f[u][j + 2][0] = max(f[u][j + 2][0],f[u][j - k][0] + f[v][k][1]);
            }
    }
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&li)){
        memset(h,-1,sizeof h);
        idx = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 1;i < n;i++){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y),add(y,x);
        }
        memset(f,0,sizeof f);
        dfs(1,-1);
        printf("%d\n",max(f[1][li][1],f[1][li][0]));
    }
    return 0;
}
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