【题解】 poj 2486 Apple Tree（树形dp）

题目大意：

给你n个结点，最大步数k。接下来n个数字表示每个节点有多少个苹果，然后n-1行每行两个数，代表两个结点之间有边相连。读入多组数据，求在限定步数k内能吃到最多的苹果数。

对于这道题目，由于是个树形结构，又要求限定步数内的最大值，我们可以往dp方向联想，那正解就是树形dp了。我们用邻接表存图，并设back[n][k]代表从n结点出发，走k步所能获得的最大苹果数（回到n结点）。那么答案就是dp[1][k]，为了求出dp数组，我们应当使用dfs。dfs（x，fa）代表从x结点出发，其父亲结点为fa♂。我们可以知道在k步过后最好让终止的结点不是最初的结点，也就是尽量让它留在子树里，所以设dp数组记录与back相同的内容，但它不回到n结点。由于不管走多少步根节点的苹果一定会被吃掉，所以初始化dp[x][k]=back[x][k]=apple[x]。枚举与父亲节点相邻的子节点，如果下一个节点是父亲结点就continue，不是则dfs下去。然后就把这个问题转化为分组背包，设x结点的一个子节点为now，走的步数为p，总步数为l，得到状态转移方程：back[x][l]=max(back[x][l],back[x][l-p-2]+back[now][p]);  注意，这里是l-p-2的原因是因为back数组最后会回到原点，去一次回来一次需要两步。重新枚举与父亲结点相邻的子节点，为了求dp数组我们需要设一个tmpback[k]的一维数组，代表去掉某个节点后，k步内可以走的最大步数。初始化tmpback[k]=apple[x]。我们想去掉y结点来求tmpback，所以再次枚举与x相邻的结点，设一个q结点与x相连且不为y，利用和求back类似的方法，求得tmpback状态转移方程为tmpback[l]=max(tmpback[l],tmpback[l-p-2]+back[q][p])。最后可以表示dp的状态转移方程dp[x][l]=max(dp[x][l],dp[now][l-p-1]+tmpback[p]) 注意这次的dp数组它不会返回父亲结点，所以只需要l-p-1就够了，最后得到正确的结果。