3、线性代数与概率基础：理论与应用解析

线性代数与概率基础：理论与应用解析

特征向量与特征值

矩阵对向量的作用方式多种多样。在多数矩阵与向量的组合中，绘制向量及其变换图形时，往往难以发现有趣的规律。然而，对于特定的矩阵和与之对应的特定向量，矩阵对向量的作用会产生富有意义且令人惊喜的结果：变换后的向量是原向量的标量倍数。我们将这些向量称为特征向量，对应的标量倍数则称为特征值。

更正式地说，对于矩阵 $A$，若存在非零向量 $v$ 使得 $Av = cv$（其中 $c$ 为常数，可能为零），则 $v$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，$c$ 是对应的特征值。例如，向量 $(1,1)$ 是某个矩阵的特征向量，对应的特征值为 $3$；而随机选取的向量，如 $(2,5)$，其变换结果可能就没有如此明显的特征。

需要注意的是，若 $A$ 是矩形矩阵，则它不可能有特征向量，因为原向量与其变换后的向量维度不同，变换结果不可能是原向量的标量倍数。因此，这里主要讨论方阵。最简单的例子是单位矩阵，对于任意非零向量 $v$，都有 $Iv = v$，即每个非零向量都是单位矩阵的特征向量，且特征值均为 $1$。

但通常情况下，矩阵的特征向量并不容易直接看出。我们可以通过以下步骤来寻找矩阵的特征向量和特征值：
1. 已知若 $v$ 是特征向量，则需满足 $Av = cv$，移项可得 $Av - cv = 0$，进一步变形为 $(A - cI)v = 0$。这意味着若 $Av = cv$，则矩阵 $A - cI$ 必有非平凡的零空间；反之，若找到一个 $c$ 使得 $A - cI$ 有非平凡零空间，那么该零空间中的非零向量就是矩阵 $A$ 的特征向量。
2. 检验矩阵是否有非平凡零空间等价于检验矩阵是否奇异，而判断