24、近似推理算法详解

近似推理算法详解

1. 引言

在贝叶斯统计中，后验推断是一个核心问题，但在很多情况下，精确计算后验分布是非常困难的，甚至是不可能的。因此，我们需要使用近似推理算法来解决这个问题。本文将介绍几种常见的近似推理算法，包括网格近似、拉普拉斯近似、变分近似、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）近似以及使用假设密度滤波的在线推理。

2. 近似推理算法介绍

2.1 网格近似

网格近似是一种简单直接的近似后验推理方法。其基本思想是将未知参数的可能取值空间划分为有限个离散的点 $\theta_1, \ldots, \theta_K$，然后通过暴力枚举的方式来近似后验分布：
[p(\theta = \theta_k|D) \approx \frac{p(D|\theta_k)p(\theta_k)}{p(D)} = \frac{p(D|\theta_k)p(\theta_k)}{\sum_{k’=1}^{K} p(D, \theta_{k’})}]
这种方法的优点是简单易懂，能够很好地捕捉到偏态的后验分布。例如，在图 7.28a 中，我们可以看到它在一维问题上能够有效地近似后验分布。然而，网格近似的缺点也很明显，当问题的维度超过 2 或 3 时，网格点的数量会随着维度的增加而呈指数级增长，导致计算量变得非常大，因此该方法不适合高维问题。

2.2 拉普拉斯近似

拉普拉斯近似是一种使用多元高斯分布来近似后验分布的方法。假设后验分布可以表示为：
[p(\theta|D) = \frac{1}{Z} e^{-E(\theta)}]
其中 $E(\theta) = -\log p(\theta, D)$