bzoj2734: [HNOI2012]集合选数

最新推荐文章于 2022-01-05 09:15:58 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-05 09:15:58 发布 · 672 阅读

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状压DP 专栏收录该内容

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本文探讨了一种利用特殊矩阵构造和状压动态规划解决特定问题的方法，通过限制元素选择，实现高效求解过程。具体步骤包括构建矩阵、筛选合法元素并进行状态压缩DP，最终计算出所有合法子集的贡献值。此方法巧妙地结合了数学构造与算法优化，展示了在复杂问题求解中的创新应用。

传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2734

思路：这题想法比较神，实现却很简单

首先注意到“若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中”

然后写出如下矩阵，其中每个数下面的数是它的2倍，右边的数是它的3倍，且每个数不超过n

1 3 9 27...

2 6 18 54...

4 12 36 108...

然后再以这个矩阵中没有出现的最小的数为左上角写出新的矩阵，直到所有数都被写入矩阵

这样问题就转化为取一个点，下面和右边的点不能取，状压即可

最后把每个矩阵的答案乘起来即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int maxn=100010,maxk=22,mod=1000000001;
using namespace std;
int n,a[maxk][maxk],f[maxk][maxn],lim[maxk],pw[maxk];ll ans=1;bool bo[maxn];

ll query(int x){
	a[1][1]=x;memset(lim,0,sizeof(lim));
	for (int i=2;i<=18;i++) 
		if (a[i-1][1]*2<=n) a[i][1]=a[i-1][1]*2;
		else a[i][1]=n+1;
	for (int i=1;i<=18;i++) for (int j=2;j<=11;j++) 
		if (a[i][j-1]*3<=n) a[i][j]=a[i][j-1]*3;
		else a[i][j]=n+1;
	for (int i=1;i<=18;i++) for (int j=1;j<=11;j++) 
		if (a[i][j]<=n) lim[i]+=pw[j-1],bo[a[i][j]]=1;
	for (int i=0;i<=18;i++) for (int j=0;j<=lim[i];j++) f[i][j]=0;
	f[0][0]=1;
	for (int i=0;i<18;i++)
		for (int j=0;j<=lim[i];j++) if (f[i][j]){
			for (int k=0;k<=lim[i+1];k++)
				if ((!(j&k))&&(!(k&(k>>1))))
					f[i+1][k]=(f[i+1][k]+f[i][j])%mod;
		}
	return f[18][0];
}

int main(){
	scanf("%d",&n),pw[0]=1;for (int i=1;i<=19;i++) pw[i]=pw[i-1]<<1;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!bo[i]) ans=ans*query(i)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}