17、循环参数表示与经典力学推导

循环参数表示与经典力学推导

1. 循环参数表示难题

在处理数据表示时，若数据构成封闭流形（如圆、球体或克莱因瓶等紧致且无边界的流形），神经网络学习循环参数表示会面临困难。这是因为描述此类流形通常需要多个坐标图。

1.1 单位球数据编码示例

以单位球上的数据点为例，数据点集合为 (O = {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1})，我们期望将其编码为简单表示。这些数据可以用球坐标 (\varphi \in [0, 2\pi)) 和 (\theta \in [0, \pi]) 进行全局参数化，即 ((x, y, z) = f(\theta, \varphi) := (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta))。

我们希望编码器执行映射 (f^{-1})，为方便起见，定义 (f^{-1}((0, 0, 1)) = (0, 0)) 和 (f^{-1}((0, 0, -1)) = (\pi, 0))。然而，这个映射在球面上 (\varphi = 0) 且 (\theta \in (0, \pi)) 的点处不连续。由于这里介绍的神经网络只能实现连续函数，所以将神经网络用作编码器会产生问题。在实际应用中，网络不得不使用非常陡峭的连续函数来近似编码器中的不连续性，这会导致接近不连续点的数据出现较大误差。

1.2 量子比特示例

在量子比特的例子中，同样存在这个问题。为了用两个参数来参数化量子比特状态 (\psi)，会使用具有参数 (\theta \in [0, \pi]) 和 (\varphi \in [0, 2\pi)) 的布洛赫