算法复杂度与基础算法解析
超级会员免费看
算法复杂度分析与基础算法介绍
1. 渐近分析问题与解答
在算法分析中，渐近复杂度是衡量算法性能的重要指标。下面我们将对一系列渐近分析问题进行探讨。
1.1 证明复杂度关系
- 证明 (n + 1 \in O(n)) ：要证明存在正常数 (c) 和 (n_0)，使得从 (n_0) 开始，(n + 1 \leq cn) 成立。取 (c = 2)，当 (n_0 = 1) 时，((c - 1)n - 1 = n - 1 \geq 0) 成立，所以 (n + 1 \in O(n))。
- 证明 (5n^3 + 7n^2 - n + 7 \in O(n^3)) ：需找到常数 (c) 和 (n_0)，使 (5n^3 + 7n^2 - n + 7 \leq cn^3)。令 (c = 6)，则 ((c - 5)n^3 - 7n^2 + n - 7 = n^3 - 7n^2 + n - 7 = (n^2 + 1)(n - 7) \geq 0)，当 (n \geq n_0 = 7) 时成立，所以 (5n^3 + 7n^2 - n + 7 \in O(n^3))。
- 证明 (f(n) = \cos n + 3 \in \Omega(1)) ：在函数 (f(n)) 的整个定义域上，(2 \cdot 1 \leq \cos n + 3 \leq 4 \cdot 1) 成立，所以 (f(n) \in \Omega(1))。
1.2 检查函数复杂度关系
对于给定的函数 (f) 和 (g)，检查 (f \in O(g)) 和 (f \in \Theta(g)) 是否成立。
| 函数对 | (f \in O(g)) | (f \in \Theta(g)) |
| ---- | ---- | ---- |
| (f(n) = 3n^2 + 2n + 10, g(n) = n^3 + 5) | 是 | 否 |
| (f(n) = n^3 + \sqrt{n}, g(n) = n^2 - \sqrt{n}) | 否 | 否 |
| (f(n) = \sqrt{3n}, g(n) = \sqrt{n^3}) | 是 | 否 |
| (f(n) = n^{7/5} + 3n, g(n) = \sqrt{n^7}) | 是 | 否 |
| (f(n) = 3n^2 - 5, g(n) = n(n + 2)) | 是 | 是 |
| (f(n) = n^3 + \sqrt{n}, g(n) = n(1 + n)) | 否 | 否 |
| (f(n) = n^{1/3}, g(n) = \sqrt{n^3}) | 是 | 否 |
| (f(n) = n^2(1 + \sqrt{n}), g(n) = n^2 - n) | 否 | 否 |
1.3 解释特殊符号含义
- (f \notin O(g))：表示不存在正常数 (c) 和 (n_0)，使得当 (n \geq n_0) 时，(f(n) \leq cg(n)) 成立。
- (f \notin \Theta(g))：表示 (f(n)) 既不满足 (f(n) = O(g(n)))，也不满足 (f(n) = \Omega(g(n)))。
1.4 证明等价关系
证明关系 (R_O = {(f, g): O(f) = O(g)}) 是等价关系，需满足自反性、对称性和传递性：
-
自反性
：若 (f = g)，则 (O(f) = O(g))，所以 ((f, f) \in R_O)。
-
对称性
：若 ((f, g) \in R_O)，则 (O(g) = O(f))，所以 ((g, f) \in R_O)。
-
传递性
：若 ((f, g) \in R_O) 且 ((g, h) \in R_O)，则 (O(f) = O(g)) 且 (O(g) = O(h))，所以 (O(f) = O(h))，即 ((f, h) \in R_O)。
1.5 渐近行为估计
- 估计 (\sum_{i = 1}^{n} i) 的渐近行为 ：根据等差数列求和公式，(\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} = \Theta(n^2))。
- 估计 (\sum_{i = 1}^{n} i^2) 的渐近行为 ：(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \Theta(n^3))。
-
估计 (\sum_{i = 1}^{n} i^d) 的渐近行为（(d > -1)）
：
- 上界估计：(\sum_{i = 1}^{n} i^d \leq n \cdot n^d = n^{d + 1})，所以 (\sum_{i = 1}^{n} i^d = O(n^{d + 1}))。
- 下界估计：(\sum_{i = 1}^{n} i^d = \sum_{i = 1}^{\lfloor n/2 \rfloor} i^d + \sum_{i = \lfloor n/2 \rfloor + 1}^{n} i^d \geq \sum_{i = \lfloor n/2 \rfloor + 1}^{n} i^d)，该和式包含 (\lceil n/2 \rceil) 个大于等于 ((\lfloor n/2 \rfloor + 1)^d) 的项，所以 (\sum_{i = 1}^{n} i^d \geq \lceil n/2 \rceil (\lfloor n/2 \rfloor + 1)^d \geq \frac{n}{2} (\frac{n}{2})^d = \frac{n^{d + 1}}{2^{d + 1}})，即 (\sum_{i = 1}^{n} i^d = \Omega(n^{d + 1}))。综上，(\sum_{i = 1}^{n} i^d = \Theta(n^{d + 1}))。
-
估计 (\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}) 的渐近行为
：
- 下界估计：(\int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} dx \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i})，即 (\ln(n + 1) \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i})。
- 上界估计：(\sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{i} \leq \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx)，所以 (\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} \leq 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx = 1 + \ln n \leq 2 \ln n)。因此，(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} = \Theta(\ln n))。更精确的估计为 (H_n = \ln n + \gamma + O(\frac{1}{n}))，其中 (\gamma = 0.5772156649…) 是欧拉常数。
-
估计二项式系数的渐近行为
：
- (C(n, 1) = \frac{n!}{1!(n - 1)!} = n = \Theta(n))。
- (C(n, 2) = \frac{n!}{2!(n - 2)!} = \frac{n(n - 1)}{2} = \Theta(n^2))。
- 证明 (C(2n, n) = \Theta(4^n n^{-1/2})) ：根据二项式系数定义和斯特林公式，(C(2n, n) = \frac{(2n)!}{n!(2n - n)!} = \frac{\sqrt{2\pi(2n)}(2n)^{2n} e^{-2n} [1 + \Theta(\frac{1}{n})]}{(\sqrt{2\pi n} n^n e^{-n} (1 + \Theta(\frac{1}{n})))^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi n}} \cdot 2^{2n} \cdot \frac{1 + \Theta(\frac{1}{n})}{(1 + \Theta(\frac{1}{n}))^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \cdot 2^{2n} \cdot [1 + \Theta(\frac{1}{n})] = \Theta(4^n n^{-1/2}))。
- 估计 (\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}) 的值 ：(\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} [1 + \Theta(\frac{1}{n})])。
- 估计卡特兰数 (C_n) 的渐近行为 ：(C_n = \Theta(n^{-3/2} 4^n))。
1.6 函数增长速率比较
-
排列函数 (n^3 + \log_2 n)、(2^{n - 1})、(n \log_2 n)、(6)、((\frac{3}{2})^n) 的增长速率
：
- 常数函数 (6) 增长最慢，排在第一位。
- 比较 (n \log_2 n) 和 (n^3 + \log_2 n) 的极限：(\lim_{n \to \infty} \frac{n \log_2 n}{n^3 + \log_2 n} = 0)，所以 (n \log_2 n) 增长慢于 (n^3 + \log_2 n)，(n \log_2 n) 排在第二位，(n^3 + \log_2 n) 排在第三位。
- 比较 (2^{n - 1}) 和 ((\frac{3}{2})^n) 的极限：(\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{3}{2})^n}{2^{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} 2 (\frac{3}{4})^n = 0)，所以 ((\frac{3}{2})^n) 增长慢于 (2^{n - 1})，((\frac{3}{2})^n) 排在第四位，(2^{n - 1}) 排在第五位。最终顺序为 (6)、(n \log_2 n)、(n^3 + \log_2 n)、((\frac{3}{2})^n)、(2^{n - 1})。
- 排列函数 (\sqrt{n})、(\frac{7n - 2n^2 + 1}{10n^4})、(\sqrt{n} + \log_2(n))、(\frac{n^2}{\log_2 n})、(e^{4 \ln n}) 的增长速率 ：增长速率从小到大依次为 (\sqrt{n})、(\sqrt{n} + \log_2(n))、(\frac{n^2}{\log_2 n})、(e^{4 \ln n} = n^4)、(\frac{7n - 2n^2 + 1}{10n^4})。
- 排列函数 (2^{2n - 1})、(2^{2n})、(2^{n^2})、(2^{2n - 1})、(\frac{2^{2n - 1}}{n})、(2^{2 \log_2 n + 1}) 的增长速率 ：增长速率从小到大依次为 (2^{2 \log_2 n + 1} = 2n^2)、(2^{2n - 1})（有多个相同复杂度的函数归为一组）、(2^{2n})、(2^{n^2})、(\frac{2^{2n - 1}}{n})。
- 排列更多函数的增长速率 ：具体函数较多，可根据极限比较法等方法进行排序，这里不再详细列出过程。
1.7 递归关系解的渐近估计
- 求解递归关系 (T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + \sqrt{n}) ：使用主定理，(a = 2)，(b = 2)，(f(n) = n^{1/2})，(n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n)。因为 (f(n) = O(n^{\log_2 2 - \frac{1}{2}}))，所以 (T(n) = \Theta(n))。
- 求解递归关系 (T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n) ：(a = 2)，(b = 2)，(f(n) = n)，(n^{\log_b a} = n)，(f(n) = \Theta(n^{\log_b a}))，所以 (T(n) = \Theta(n \log_2 n))。
- 求解递归关系 (T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n^2) ：(a = 2)，(b = 2)，(f(n) = n^2)，(f(n) = \Omega(n^{\log_2 2 + 1}))，且满足正则条件，所以 (T(n) = \Theta(n^2))。
-
求解其他递归关系
：类似地，可根据主定理或其他方法求解不同递归关系的渐近复杂度，具体结果如下：
- (T(n) = 3T(\frac{n}{2}) + n)，(T(n) = \Theta(n^{\log_2 3}))。
- (T(n) = 3T(\frac{n}{2}) + n^{\log_2 3})，(T(n) = \Theta(n^{\log_2 3} \log_2 n))。
- (T(n) = 3T(\frac{n}{2}) + n^3)，(T(n) = \Theta(n^3))。
- (T(n) = 5T(\frac{n}{8}) + 3\sqrt{n})，(T(n) = \Theta(n^{\log_8 5}))。
- (T(n) = 5T(\frac{n}{8}) + n^{\log_8 5})，(T(n) = \Theta(n^{\log_8 5} \log_2 n))。
- (T(n) = 5T(\frac{n}{8}) + n^4 \log_4^2 n)，(T(n) = \Theta(n^4 \log_4^2 n))。
- 斯特拉森矩阵乘法算法的执行时间 (T(n) = 7T(\frac{n}{2}) + \Theta(n^2))，(T(n) = \Theta(n^{\log_2 7}))，因为 (\log_2 7 = 2.807… < 3)，所以对于足够大的 (n)，斯特拉森算法的渐近复杂度小于标准矩阵乘法方法。
-
使用更一般的主定理求解递归关系：
- (T(n) = 4T(\frac{n}{4}) + n \log_2 n)，(T(n) = \Theta(n \log_2^2 n))。
- (T(n) = 5T(\frac{n}{2}) + n^{\log_2 5} \log_5^2 n)，(T(n) = \Theta(n^{\log_2 5} \log_6^2 n))。
- (T(n) = 4T(\frac{n}{2}) + n^2 \log_2^2 n)，(T(n) = \Theta(n^2 \log_3^2 n))。
2. 基础算法介绍
2.1 递归算法
递归算法是一种调用自身的算法，通常易于理解和实现。以下是两个常见的递归算法示例：
-
计算阶乘
：
function factorial (n:integer):integer;
// calculating the factorial of a number n
begin
if n = 1 then
factorial := 1
else
factorial := n*factorial (n - 1);
end;
该算法的计算复杂度为 (O(n))。
-
计算矩阵行列式
：矩阵 (A) 的行列式 (det A) 递归计算如下：
- 若 (n = 1)，则 (det A = a_{11})。
- 若 (n > 1)，则 (det A = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} a_{ij} det A_{ij})，其中 (a_{ij}) 是矩阵 (A) 第 (i) 行第 (j) 列的元素，(A_{ij}) 是去掉第 (i) 行和第 (j) 列后的 ((n - 1) \times (n - 1)) 矩阵。通常取 (i = 1)。
对于 (2 \times 2) 矩阵，(det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})；对于 (3 \times 3) 矩阵，(det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31})，这被称为萨鲁斯法则。递归计算行列式的复杂度为 (O(n!))，而高斯消元法可以在 (O(n^3)) 时间内求解矩阵行列式，其思想是将矩阵转化为上三角矩阵，行列式等于主对角线元素之积。
2.2 搜索算法
搜索算法用于在数据结构中查找信息，这里我们考虑整数数组的搜索问题。
-
顺序搜索算法
：用于处理无序数组，依次扫描数组元素并与目标值比较。
const N = 100;
type Mass = array[1..N] of integer;
function SequentialSearch( list :Mass;
target :integer):integer;
// list — analysed array of N elements
// target — target value
var i :integer;
begin
result:=0;
for i := 1 to N do
if target = list [ i ] then
begin
result:=i ;
break;
end;
end;
该算法的最坏情况复杂度 (W(N) = N)，最好情况复杂度 (B(N) = 1)，平均情况复杂度 (A(N) = \frac{N + 1}{2} = O(N))。
-
二分搜索算法
：用于有序数组，每次比较中间元素并缩小搜索范围。
const N = 100;
type Mass = array[1..N] of integer;
function BinarySearch( list :Mass;
target :integer):integer;
// list — analysed array of N elements
// target — target value
var left ,middle, right :integer;
begin
left :=1;
right:=N;
result:=0;
while left<=right do
begin
middle:=( left+right) div 2;
case compare( list [middle] ,target) of
-1: left:=middle+1;
0: begin
result:=middle;
break;
end;
+1: right:=middle−1;
end;
end;
end;
辅助函数
compare(a, b)
比较两个整数并返回结果：
function compare(a, b: integer): integer;
begin
if a > b then
compare := 1
else if a = b then
compare := 0
else
compare := -1;
end;
二分搜索算法的最坏情况复杂度和平均情况复杂度均为 (O(\log_2 N))。可以通过决策树来分析该算法，决策树的每个节点表示一次比较操作，根据比较结果选择左子树或右子树。
-
斐波那契搜索算法
：用于有序数组，根据斐波那契数列划分搜索范围。
const N = 100;
type Mass = array[1..N] of integer;
function FibonaccianSearch( list : Mass;
target : integer): integer;
// list — analysed array of N elements
// target — target value
var left, k, pos: integer;
begin
left :=1;
result:=0;
// find the smallest k, satisfying
// the condition F[k ]>=N
k:=BinarySearch_ge();
while k>0 do
begin
pos:= left + F[k−1]−1;
if pos<= N then
case compare( list [pos] ,target) of
-1: begin
left:= pos+1;
k:= k−2;
end;
0: begin
result:= pos;
break;
end;
+1: k:=k−1;
end
else k:=k−1;
end;
end;
该算法使用辅助函数
compare(a, b)
和
BinarySearch_ge()
。最坏情况复杂度 (W(N) = \log_{\phi} N + O(1))，平均情况复杂度 (A(N) = \frac{\phi}{\sqrt{5}} \log_{\phi} N + O(1))，其中 (\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) 是黄金分割比。
-
插值搜索算法
：用于有序数据，假设数组元素值线性增长。通过计算目标值在数组中的估计位置进行比较。
next = left + \left\lfloor \frac{right - left}{list[right] - list[left]}(target - list[left]) \right\rfloor
该算法的平均情况复杂度 (A(N) = \Theta(\log_2 \log_2 N))，最坏情况复杂度 (W(N) = O(N))。
综上所述，不同的搜索算法适用于不同的数据结构和应用场景，在实际使用中需要根据具体情况选择合适的算法。递归算法虽然易于理解，但在使用时需要注意系统资源的消耗，特别是栈溢出问题。渐近分析为我们评估算法性能提供了重要的工具，帮助我们选择最优的算法。
算法复杂度分析与基础算法介绍
3. 算法复杂度分析的实际应用与注意事项
3.1 复杂度分析在算法选择中的应用
在实际编程中，我们常常需要根据问题的规模和需求选择合适的算法。例如，当处理小规模无序数据的查找问题时，顺序搜索算法是一个简单直接的选择，因为其实现简单，对于小规模数据，其 (O(N)) 的复杂度不会带来太大的性能问题。但当数据规模增大时，顺序搜索的效率会显著下降，此时如果数据是有序的，二分搜索算法 (O(\log_2 N)) 的复杂度就会展现出明显的优势。
再比如矩阵行列式的计算，对于小规模矩阵，递归算法虽然复杂度为 (O(n!))，但由于实现简单，在可接受的时间内可以完成计算。然而，当矩阵规模较大时，高斯消元法 (O(n^3)) 的复杂度就使得它成为更优的选择。
下面是一个简单的流程图，展示了根据数据规模和有序性选择搜索算法的过程：
graph TD;
A{数据规模小?} -->|是| B{数据无序?};
B -->|是| C[顺序搜索算法];
B -->|否| D[二分搜索算法];
A -->|否| E{数据有序?};
E -->|是| D;
E -->|否| F[先排序再用二分搜索或其他算法];
3.2 递归算法的注意事项
递归算法虽然具有简洁易懂的优点，但在使用时需要特别注意系统资源的消耗。递归调用会不断地在系统栈中创建新的栈帧，当递归深度过大时，可能会导致栈溢出错误。例如在计算大规模矩阵行列式时，递归算法 (O(n!)) 的复杂度会使得递归深度急剧增加，很容易引发栈溢出。
为了避免这种情况，我们可以采用迭代方法替代递归，或者对递归算法进行优化，如使用尾递归等技术。尾递归是指递归调用是函数的最后一个操作，这样编译器可以对其进行优化，避免栈深度的无限增长。
3.3 渐近分析的局限性
渐近分析主要关注算法在大规模输入下的性能表现，它忽略了常数因子和低阶项。然而在实际应用中，这些因素可能会对算法的性能产生重要影响。例如，在某些情况下，一个复杂度为 (O(n^2)) 的算法可能由于其常数因子较小，在小规模输入时比复杂度为 (O(n \log n)) 的算法更快。
此外，渐近分析假设输入数据是随机分布的，但在实际应用中，数据可能具有特定的分布特征，这也会影响算法的实际性能。因此，在进行算法选择时，除了考虑渐近复杂度，还需要结合实际情况进行综合评估。
4. 算法复杂度分析的拓展与深入
4.1 函数增长速率的进一步探讨
在前面我们对一些常见函数的增长速率进行了比较，实际上，函数增长速率的比较是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解不同算法的性能差异。例如，任何正多项式函数 (f(n) = a_d n^d + a_{d - 1} n^{d - 1} + \cdots + a_1 n + a_0)（(a_d > 0)）的增长速率都比任何对数函数的幂次 (\log_k n)（(k \in R^+)）快，即 (\log_k n = O(f(n)))。这可以通过求极限 (\lim_{n \to \infty} \frac{\log_k n}{f(n)} = 0) 来证明，例如使用洛必达法则对分子分母分别求导 (\lceil k \rceil) 次。
同样，任何指数函数 (c^n)（(c > 1)）的增长速率都比多项式函数快，即 (c^n = \Omega(f(n)))。这可以通过求极限 (\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{c^n} = 0) 来证明，对于任意常数 (c \in (1, \infty)) 和 (d \in N)。
以下是一些常见函数增长速率的排序（从慢到快）：
1. 常数函数：如 (f(n) = 6)
2. 对数函数的幂次：如 (\log_k n)
3. 多项式函数：如 (n^d)（(d) 为正整数）
4. 指数函数：如 (c^n)（(c > 1)）
5. 阶乘函数：如 (n!)
4.2 递归关系的更多求解方法
除了主定理，还有一些其他方法可以用于求解递归关系。例如迭代法，通过不断展开递归式，找到其通项公式。以递归关系 (T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n) 为例，我们可以进行如下迭代：
- (T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n)
- (T(\frac{n}{2}) = 2T(\frac{n}{4}) + \frac{n}{2})，则 (T(n) = 2(2T(\frac{n}{4}) + \frac{n}{2}) + n = 2^2 T(\frac{n}{2^2}) + 2 \cdot \frac{n}{2} + n)
- 以此类推，经过 (k) 次迭代后，(T(n) = 2^k T(\frac{n}{2^k}) + k \cdot n)
当 (\frac{n}{2^k} = 1)，即 (k = \log_2 n) 时，(T(n) = n T(1) + n \log_2 n = \Theta(n \log_2 n))
另外，还有特征方程法，适用于线性齐次递归关系。例如对于递归关系 (T(n) = aT(n - 1) + bT(n - 2))，其特征方程为 (r^2 - ar - b = 0)，通过求解特征方程的根，可以得到递归关系的通解。
4.3 搜索算法的优化与拓展
在搜索算法中，我们可以对现有的算法进行优化。例如，在二分搜索算法中，可以使用插值搜索算法进行改进。插值搜索算法假设数据是均匀分布的，通过计算目标值在数组中的估计位置进行比较，在平均情况下具有更好的性能 (A(N) = \Theta(\log_2 \log_2 N))。
此外，对于多维数据结构的搜索问题，我们可以将一维搜索算法进行拓展。例如在二维数组中进行搜索，可以采用分治法，将二维数组划分为多个子数组，然后在子数组中进行搜索。
5. 总结
算法复杂度分析是评估算法性能的重要工具，通过渐近分析我们可以了解算法在大规模输入下的性能表现。不同的算法适用于不同的数据结构和应用场景，在实际使用中需要根据具体情况进行选择。递归算法虽然简洁易懂，但要注意系统资源的消耗，避免栈溢出问题。搜索算法根据数据的有序性和规模有不同的选择，并且可以通过优化和拓展来提高性能。
同时，我们也应该认识到渐近分析的局限性，在实际应用中要综合考虑常数因子、低阶项和数据分布等因素。通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握算法复杂度分析和基础算法的应用，从而编写出更高效的程序。
扫一扫
2670
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
