16、分布式信念与STIT逻辑中的意向性探索

分布式信念与STIT逻辑中的意向性探索

1. 分布式信念相关概念

分布式信念在逻辑研究中有着重要地位，其中涉及到谨慎分布式信念和大胆分布式信念等概念。

1.1 谨慎分布式信念与表达能力

谨慎分布式信念（$D^{\forall} {G} \phi$）指的是当且仅当群体 $G$ 的所有最大一致子群体都分布式地相信 $\phi$ 时，该信念成立。而标准分布式信念（$D {G} \phi$）则是当且仅当 $\phi$ 在群体的猜想集的每个世界中都为真时成立。研究表明，在一般情况下，标准分布式信念的表达能力严格强于谨慎分布式信念（$D^{\forall} \prec D$）。不过，在自反模型中，二者是一致的。

这里有一个重要的推论：$LD^{\forall}$ （扩展了命题语言并包含 $D^{\forall} {G}$ 的语言）的表达能力严格弱于 $LD$ ，但引入群体不一致常量 $\equiv {G}$ 后，$LD^{\forall}, \equiv$ 与 $LD$ 的表达能力相等（$LD^{\forall}, \equiv \approx LD$）。证明过程如下：
- 显然，$\vDash \equiv_{G} \leftrightarrow D_{G} \bot$ ，所以 $\equiv_{G}$ 和 $D^{\forall} {G}$ 在 $LD$ 中都是可定义的，因此 $LD^{\forall}, \equiv \preceq LD$ 。
- 为证明 $LD \preceq LD^{\forall}, \equiv$ ，只需证明 $D {G}$ 在 $LD^{\foral