4、一维参数化模态逻辑：语法、语义与完备性

一维参数化模态逻辑：语法、语义与完备性

在模态逻辑的研究中，如何在不显著增加可满足性问题计算复杂度的前提下，提升命题模态语言的表达能力，是一个备受关注的问题。本文将围绕这一核心问题，详细介绍一维参数化模态逻辑的相关内容，包括语法、语义、公理化以及完备性证明等方面。

背景与问题提出

在命题模态语言中，常见的一元连接词♦具有存在（∃）满足定义。例如，在关系模型$(W, R, V)$中，可能世界$s$属于$V(♦\phi)$当且仅当存在可能世界$t$，使得$sRt$且$t \in V(\phi)$。

在时态推理的背景下，二元连接词“直到”（$U$）被引入，以增强命题模态语言的表达能力。它具有存在 - 全称（∃∀）满足定义：在模型$(W, R, V)$中，可能世界$s$属于$V(\phi U \psi)$当且仅当存在可能世界$u$，使得$sRu$，$u \in V(\psi)$，并且对于所有满足$sRt$且$tRu$的可能世界$t$，都有$t \in V(\phi)$。

使用二元连接词$U$能够刻画比基于一元连接词♦的命题模态语言更多的关系结构类，并且对可满足性问题的计算复杂度没有显著影响。这自然引发了一个问题：是否存在其他具有复杂满足定义的连接词，在不显著影响可满足性问题计算复杂度的情况下，提升命题模态语言的表达能力？

语法定义

设$P$是一个可数无限集，其元素称为原子公式。一个“tip”是字母表$P \cup {\bot, \neg, \vee, ♦, (, )}$上有限字的集合。设$L$是满足以下条件的最小“tip”：
- $P \subseteq L$；
- $\bot \in L$；