10、线性代数编码：子域码与循环码深入解析

线性代数编码：子域码与循环码深入解析

1. 子域码的基本理论

在编码领域，子域码是一个重要的研究对象。对于线性码 $C$，它是一个定义在域 $F$ 上的 $[n, k, d]$ 码。这里的 $n$ 表示码长，$k$ 是维度，$d$ 为最小距离。而子域子码 $C|K = C ∩K^n$ 则是定义在子域 $K$ 上的码。

定理 7.4.2 指出，$C|K$ 是一个 $[n, k_I ≥n - mr, d_I ≥d]$ 码，其中 $r = n - k$。下面我们来详细证明这个定理：
- 线性性质证明 ：若 $a, b ∈C|K$ 且 $t, s ∈K$，由于 $ta + sb$ 的所有元素都来自 $K$，所以它属于 $K^n$。又因为 $C$ 是 $F$ 上的线性码且 $K$ 是 $F$ 的子域，所以 $ta + sb$ 也属于 $C$。这就表明 $ta + sb ∈C|K$，即子域子码是线性的。
- 码长与最小距离 ：显然 $C|K$ 的码长为 $n$。由于它是 $C$ 的子码，所以其最小距离 $d_{min}(C|K) ≥d_{min}(C)$。
- 维度验证 ：$C$ 的冗余度为 $n - k = r$，这也是 $C$ 的校验矩阵 $H$ 的行数。我们从 $H$ 构造出 $C|K$ 的控制矩阵 $\check{H}$，$H$ 的每一行对应 $\check{H}$ 的 $m$ 行。通过丢弃 $\check{H}$ 中不需要的行，我们可以得到 $C|K$ 的校验矩阵。因此，$C|K$ 的冗余度最多为 $mr$，其维度至少为