15、域上的多项式代数：全面解析与应用指南

域上的多项式代数：全面解析与应用指南

1. 域上的多项式环

1.1 多项式的引入

为了给由字母表 (F) 组成的单词赋予算术结构，我们引入了域的概念。然而，向量空间 (F^n) 中的标量乘法并不能为单词和向量提供全面的乘法运算。因此，我们引入了域 (F) 上的多项式。

设 (F) 是一个域，(x) 是一个不属于 (F) 的符号，即不定元。对于 (F) 中的任意 (n) 元组 ((a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n - 1}))，我们将其与 (x) 的多项式关联起来：
[a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_{n - 1}x^{n - 1}]
通常，我们将 (a_0x^0) 写作 (a_0)，将 (a_1x^1) 写作 (a_1x)，并且 (0 \cdot x^i = 0)，(1 \cdot x^i = x^i)。有时，我们使用求和符号来表示多项式：
[\sum_{i = 0}^{d} a_ix^i = a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_dx^d]
我们将 (F[x]) 定义为 (F) 上所有 (x) 的多项式的集合：
[F[x] = \left{\sum_{i = 0}^{\infty} a_ix^i \mid a_i \in F, a_i = 0 \text{ 对于除有限个 } i \text{ 之外的所有 } i\right}]

1.2 多项式的运算

多项式的加法和乘法运算定义如下：
- 加法 ：
[\sum_{i = 0}