32、非完全集与Restivo猜想相关研究

非完全集与Restivo猜想相关研究

在数学研究中，对于非完全集的探讨有着重要的意义，特别是在涉及到特定集合的完整性以及不可补全词相关性质的研究上。以下将围绕集合 (S_k) 展开，深入分析其不可补全词的相关特性。

集合 (S_k) 的非完全性及不可补全词的存在性

当 (k \geq 4) 时，集合 (S_k) 并非完全集，并且存在长度为 (5k^2 - 17k + 13) 的不可补全词。下面我们来详细证明这一结论。

设 (r = b^{k - 1}a^{k - 1}) 表示 (v) 和 (u) 的重叠出现情况。考虑单词 (\omega = u \prod_{i = 1}^{k - 3}(r a_i \cdot b^{k - 2 - i} r \cdot)v)，其中“(\cdot)”可由字母表 (\Sigma) 中的任意字母替换。

我们对 (v) 的出现进行倒序编号（最后一次出现的 (v) 编号为 (0)），设 (F_i^v \subseteq {0, \ldots, k - 1}) 为第 (i) 次出现的 (v) 中的禁止位置集合；对 (u) 的出现也进行类似编号（从 (1) 开始），并定义 (F_i^u)。

根据引理 2，(F_0^v = {0})。对 (F_0^v) 中的位置 (0) 应用引理 1，可得 (F_1^u = {1})。由于 (F_1^u) 中的位置 (1) 在 (F_1^v) 中编号为 (k - 1)，再结合引理 2，可知 (0 \in F_1^v)，所以 (F_1^v = {0, k - 1})。由引理 3 可知 (F_2^u \subseteq {0, k - 2, k - 1})，对 (F_1^v) 中的位置 (k