28、阿贝尔本原词与离散上下文无关线性序

阿贝尔本原词与离散上下文无关线性序

1. 阿贝尔本原词相关概念

阿贝尔本原词的研究涉及多个重要概念和定理。首先，对于正整数 (n)，定义 (D(n)) 为 (n) 的最大无整除关系的因子集合。设 (n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}) 是 (n\geq2) 的素因数分解，定义 (A(n) = \frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{k} \alpha_i(\alpha_i + 2))。有定理表明，(n) 的因子格中的最大反链大小 (s(n) = \Theta(\frac{d(n)}{\sqrt{A(n)}}))。

对于长度为 (n) 的单词 (w)，其阿贝尔本原根的数量最多为 (|D(n)|)。可以得到定理：若 (w) 是长度为 (n) 的单词，其不同阿贝尔本原根的数量 (s(n) \in o(2^{\log n / \log \log n}))。同时，还有关于 (s(n)) 平均阶的定理：当 (\omega’(n) \to \infty) 时，(s(n) \leq (\frac{2}{\pi} + o(1)) \frac{d(n)}{\sqrt{\omega’(n)}})；当 (n \to \infty) 时，(\sum_{m\leq n} \frac{d(m)}{\sqrt{\omega’(m)}} \sim \frac{n \log n}{\sqrt{2 \log \log n}})。

为了得到单词可能具有的阿贝尔本原根数量的下界，给出了一个显式构造。对于 (n\geq2)，定义 (T(n) = {kd : k \in \mathbb{N}, d \in D(n), kd \leq n}