26、无限字群扩张中的字问题求解

无限字群扩张中的字问题求解

1. 重写系统与示例

在相关证明中，一个主要思路是用新系统 $\Rightarrow_{Big} = \overset{ }{\Rightarrow} {S_0} \circ \Rightarrow {S} \circ \overset{ }{\Rightarrow} {S_0}$ 来替换重写系统 $\Rightarrow {S}$。证明中的复杂部分在于表明非终止的重写系统 $\Rightarrow_{Big}$ 在 $W(A, \Gamma)$ 上是强合流的。一旦建立了强合流性，相关定理的断言就显而易见了。

下面来看一个示例，设 $S_0$ 是定义自由群 $F(\Sigma)$ 的系统，$a \in \Sigma$，$u, v \in F(\Sigma)$ 由 $\Gamma^*$ 中的非空循环约化字表示。考虑两个无限闭字：
- $w = [uuu \cdots )( \cdots vvv]$
- $z = [uuu \cdots )( \cdots aaa][aaa \cdots )( \cdots vvv]$

字 $uw$ 和 $wv$ 是自由约化的，因此是不可约的。根据相关推论，在 $E(A, G)$ 中 $uw = wv$ 当且仅当 $|u| = |v|$。字 $z$ 不是自由约化的，如果 $z = z’ \in E(A, G)$，那么 $S_0$ 在 $z’$ 上是非终止的。$S \setminus S_0$ 中的规则不适用于 $z$，且在 $E(A, G)$ 中 $w \neq z$。虽然字 $z$ 没有明确定义的长度，但可以得出与 $w$ 相同的结论。