94、代数函数域的挠限及其在算术秘密共享中的应用

代数函数域的挠限及其在算术秘密共享中的应用

1. 代数函数域相关概念与结论

• 特殊域的性质 ：设 (K) 为域 (F_q(x, y))，其中 (y^2 = \prod_{i = 1}^{7}(x + t_i))，则 (K) 是 (K_1 \cdots K_7/F_q(x)) 的子域，满足 ([K : F_q(x)] = 2)，且 (K_1 \cdots K_7/K) 是无分歧阿贝尔扩张。三个位（(\infty) 以及位于 (x) 上方的位）在 (K_1 \cdots K_7/K) 中完全分裂。由于 (K_1 \cdots K_7/K) 的伽罗瓦群的 2 - 秩为 6（等于 (2 + 2\sqrt{3} + 1)），(K) 有一个无限的 ((2, S)) - 希尔伯特类域塔 (F)，其中 (S) 由三个位 (\infty) 以及位于 (x) 上方的位组成，且 (A(F) \geq \frac{3}{g(K) - 1} = \frac{3}{2})。
• 阿贝尔簇的 (m) - 挠点群 ：对于定义在域 (k) 上的阿贝尔簇 (A) 和正整数 (m)，(m) - 挠点群 (A[m]) 定义为代数闭包 (\overline{k}) 上被 (m) 零化的点的集合。若 (m) 与 (k) 的特征 (p) 互素，则 (A[m]) 同构于 ((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{2g})；若 (m = p)，则 (A[p]) 同构于 ((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^a)，其中 (a) 是非负整数且 (a \leq g)，(g) 是 (A) 的维数。
• 韦伊