22、正则无限游戏中的语言与ω - 语言

正则无限游戏中的语言与ω - 语言

在计算机科学的形式语言与自动机理论领域，无限游戏的研究是一个饶有趣味且具有重要意义的方向。无限游戏通常由两个玩家，即玩家 1 和玩家 2 参与，他们轮流选择字母，共同构建一个 ω - 字，而游戏的胜负则由一个 ω - 语言来决定。本文将深入探讨正则语言（∗ - 语言）与 ω - 语言之间的联系，以及在无限游戏中获胜策略的表示问题。

1. 引言

正则 ω - 语言理论与正则有限字语言（正则 ∗ - 语言）理论存在着紧密的联系，主要体现在以下两个方面：
- 非确定性 Büchi 自动机表示 ：所有正则 ω - 语言都可以表示为有限个集合 (U · V^ω) 的并集，其中 (U) 和 (V) 是正则 ∗ - 语言。
- 确定性 Muller 自动机表示 ：所有正则 ω - 语言都可以表示为集合 (lim(U)) 的布尔组合，其中 (U) 是正则语言，(lim(U) = {α ∈ Σ^ω |) 无限多个有限的 (α) 前缀属于 (U})。

本文重点关注后一种方法，同时还会研究另一种将 ∗ - 语言转换为 ω - 语言的规范变换，即 (ext(U) = {α ∈ Σ^ω |) 某个有限的 (α) 前缀属于 (U})。布尔组合 (BC(lim(REG))) 和 (BC(ext(REG))) 分别表示正则语言 (U) 的 (lim(U)) 和 (ext(U)) 的布尔组合。

本文的目的是从两个维度细化研究 ∗ - 语言和 ω - 语言之间的联系：
- 细化语言类 ：将正则语言类 (REG) 替换为