23、正则无限博弈中的语言与ω - 语言及自动序列的枚举和可判定性质

正则无限博弈中的语言与ω - 语言及自动序列的枚举和可判定性质

正则无限博弈中的语言与策略

在正则无限博弈的研究中，我们关注不同类型语言的博弈以及对应的获胜策略。

首先来看弱博弈中的获胜策略。有定理表明，存在属于 BC(ext(PT))（进而属于 BC(ext(DD1))）的博弈，不存在 DD1 获胜策略。下面是详细证明过程：
设 Σ := {a, b, c, d} × {0, 1}，定义 ∗ - 语言：
- (K_1 := (a, 0)^ (b, 0))
- (K_2 := Σ^ (d, 1)Σ^ )
- (K_d := Σ^ (d, 0)Σ^ ∪ Σ^ (d, 1)Σ^ )
- 对于每个字母 (x ∈ {a, b, c})，定义 (K_x := Σ^ (x, 1)Σ^*)

设 L 是 Σ 上的 ω - 语言，包含所有满足特定条件的 ω - 字 α。所有上述 ∗ - 语言都在 PT 中，所以 L 在 BC(ext(PT)) 中，更在 BC(ext(DD1)) 中。可以发现玩家 2 能赢得该博弈，她会记住是否出现了 (K_1) 中的前缀，若出现则后续遇到 d 时回应 1，否则回应 0。但可以证明玩家 2 不存在 DD1 获胜策略（更不存在 PT 获胜策略）。假设存在这样的获胜策略 τ : (Σ^* → Θ)，由 DD1 摩尔机实现，会存在深度为 1 的 ∗ - 语言 (K_{θ1}, …, K_{θn}) 来实现该策略。通过构造玩家 1 的不同策略，会得出与 τ 是获胜策略相矛盾的结果。

另一个定理指出，对于每个 (i ∈