15、自动机理论与正则语言语法复杂度研究

自动机理论与正则语言语法复杂度研究

1. 原子理论相关内容

在正则语言的研究中，原子（atoms）是一个重要的概念。对于任意的 (k \in [n])，原子 (A_i) 和 (A_j) 要么同时是 (L_k) 的子集，要么都不是。由于 (A_i) 和 (A_j) 是不同的，必然存在一个 (h) 使得 (A_i \subseteq L_h) 而 (A_j \nsubseteq L_h)，这与之前的结论矛盾。

• 自动机的性质 ：

  • 若 (A^R) 是确定的，根据定理 2，(A^D) 是最小的。
  • 设 (N) 是接受语言 (L) 的任意非确定有限自动机（NFA），DFA (N^{RDM}) 是接受语言 (L^R) 的唯一最小 DFA。由前面的结论可知，(A^R) 是最小的初始确定有限自动机（IDFA）且接受 (L^R)。因为 (N^{RDM}T) 与 (A^R) 同构，所以正规自动机 (N^{RDM}TR) 与 (A) 同构。
  • 若 (B) 与上述的 (N^{RDM}) 同构，相应的结论成立。
  • 设 (D) 是 (L) 的商 DFA，若 (A) 与 (D^T) 同构，由前面结论可知 (A^R) 是 IDFA，那么 (A) 本身也是 IDFA，所以 (A) 以及语言 (L) 是双向确定的。反之，若 (B) 是接受 (L) 的精简双向确定 IDFA，因为 (B^R) 是确定的，根据定理 2，(B^D) 是最小的。又因为 (B) 是精简 IDFA，有 (B^{DT} = B)，所以 (B) 与 (L) 的商 IDFA 同构。由于 (B)