10、避免部分单词中的阿贝尔幂

避免部分单词中的阿贝尔幂

1. 避免阿贝尔 6 次幂的部分单词构造

设字母表 (A = {a, b})，存在一个无限二进制单词 (w) 可避免阿贝尔 4 次幂，它是态射 (\varphi : A^ \to A^ )（其中 (\varphi(a) = aaab)，(\varphi(b) = bab)）的不动点。同时定义态射 (\psi : A^ \to A^ ) 为 (\psi(a) = b)，(\psi(b) = a)。

取 (v_0 = w[0..119])，(v_1 = w[121..240])，且 (w(120) = a)，即 (v_0av_1) 是 (w) 的前缀，(\vert v_0av_1 \vert = 241)。经计算机验证，(\psi(v_0) \diamond v_1) 是阿贝尔 6 自由的。并且，若 (u) 是 (w) 的子单词，(30 \leq \vert u \vert < 60)，则 (\vert u \vert_a > \vert u \vert_b)；若 (\vert u \vert \geq 30) 且 (u) 是 (w) 的子单词，同样有 (\vert u \vert_a > \vert u \vert_b)。

由于 (v_0av_1) 在 (w) 中出现一次，必然会无限次出现。定义序列 (k_0 < k_1 < \cdots)，使得 (k_0 > 120)，(w[k_i - 120..k_i + 120] = v_0av_1)，且 (k_i > 7k_{i - 1})，令 (k_{-1} = -1)。定义部分单词 (w’) 如下：
[
w