9、计算问题中的重复避免与复杂度分析

计算问题中的重复避免与复杂度分析

在计算科学领域，有两个重要的研究方向值得深入探讨。一是关于 #FMO 问题的复杂度分析以及从 #HAM 问题到 #FMO 问题的归约，二是在部分单词中避免阿贝尔幂的相关研究。下面将详细介绍这两方面的内容。

#FMO 问题与 #HAM 问题归约

FMO 问题属于 #P 类问题，这里主要探讨其完备性。给定一个无向图 $G = \langle V, E \rangle$，以及源点 $w$ 和汇点 $s$，将 #HAM 问题归约到 #FMO 问题的步骤如下：

1. 构建一个实例 $\langle R, F \rangle$，具体构建方式这里暂不详细展开。
2. 设 $z$ 为实例 $\langle R, F \rangle$ 的解的数量。
3. 计算 $a = \prod_{i = 1}^{|V|} \alpha_i \neq 0$，其中对于度为 $d_i$ 的顶点 $i$，$\alpha_i$ 的定义如下：
   • 当 $i = w, s$ 时，$\alpha_i = 2^{(d_i - 1)} (d_i - 1)!$。
   • 当 $i \neq w, s$ 时，$\alpha_i = 2^{(d_i - 2)} (d_i - 2)!$。
4. 返回整数 $z/a$。

这个归约过程是多项式时间的。为了证明其正确性，需要说明对于图 $G$ 中的每一条哈密顿路径 $H = \langle i_1, i_2, \ldots, i_{|V|} \rangle$，都有 $|\Sigma_H|