5、无幂语言增长性质研究

无幂语言增长性质研究

1 构建因子图与计算增长率

在处理无幂语言时，为了计算其增长率，我们可以对戈沃罗夫的方法进行改进。首先，我们会构建识别集合 $M’$ 的“因子字典树”，然后通过对 Aho - Corasick 过程的简单修改，直接从这个因子字典树构建因子图。具体来说，边 $u \xrightarrow{a} \cdots$ 的目标顶点是从初始顶点开始，由单词 $ua$ 的最长真后缀的字典序最小自同构像标记的路径的目标顶点。这样，因子图 $F(M)$ 就被构建为一个有限自动机。

这个改进后的过程可以在 $O(N \log N)$ 的时间内构建因子图，其中 $N$ 是因子字典树的大小。与 Aho - Corasick 自动机相比，构建因子图所需的空间和时间开销大约减少了 $|\Sigma|!$ 倍。这种改进方法具有很好的特性：
- 只要集合 $M$ 能存储在内存中，就可以计算语言 $L$ 的增长率。
- 如果 $M$ 是对称的，只要集合 $M’$ 能存储在内存中，就可以计算语言 $L$ 的增长率。

2 构建有限反字典

假设 $L$ 是一个 $\beta$ - 无幂语言，$M$ 是其反字典，我们需要计算 $Gr(L)$ 的上界 $Gr(L_i)$。根据前面的讨论，只需要找到字典序最小的禁止单词集合 $M_i’$ 即可。这对于大字母表上的语言尤为重要，因为 $|M_i’| \approx |M_i| / |\Sigma|!$，例如 4 字母字母表就已经算大字母表了。

构建有限反字典的算法性能可以通过以下标准评估：假设 $i$ 是使得因子字典树 $M_{i + 1}’$ 太大而无法存储在计算机内存中的最小数，能否在合理的