65、工业与偏微分方程系统的全局线性化控制及锂离子电池扩散PDE控制

工业与偏微分方程系统的全局线性化控制及锂离子电池扩散PDE控制

1. 福克 - 普朗克偏微分方程模型的相关内容

首先，方程 (6.440) 可写成如下形式：
[
\frac{\partial\rho_i}{\partial t} = \frac{1}{2b^2}\frac{\rho_{i - 1}}{\Delta x^2} - \frac{1}{2b^2}\frac{2\rho_i}{\Delta x^2} + \left(\frac{1}{2b^2} + \alpha x_i\Delta x\right)\frac{\rho_{i + 1}}{\Delta x^2} + \alpha\rho_i - \alpha x_i\Delta x\frac{\rho_i}{\Delta x^2}
]
通过令 (K_1 = \frac{1}{2b^2})，(K_2 = \frac{1}{2b^2} + \alpha x_i\Delta x) 以及 (f(\rho_i) = \alpha\rho_i - \alpha x_i\Delta x\frac{\rho_i}{\Delta x^2})，可得到如下描述：
[
\frac{\partial\rho_i}{\partial t} = \frac{K_1}{\Delta x^2}\rho_{i - 1} - \frac{2K_1}{\Delta x^2}\rho_i + \frac{K_2}{\Delta x^2}\rho_{i + 1} + f(\rho_i)
]

对于偏微分方程模型，定义状态向量 (\tilde{Y} = [y_{1,1}, y_{1,2}, \cdots, y_{1,i}