矩阵梯度推导

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### Transformer 模型中的梯度计算 在Transformer模型中，梯度计算对于优化参数至关重要。该模型通过反向传播算法执行梯度下降，在多层结构中传递误差信号以更新权重。 #### 反向传播概述 反向传播分为两个主要阶段：前向传播和后向传播。在前向传播期间，输入数据依次穿过各层直到输出层；而在后向传播过程中，则是从损失函数开始逐层向前计算并分配误差项给各个神经元的权值[^1]。 #### 多头自注意力机制下的梯度流 具体到Transformer架构内的核心组件——多头自注意（Multi-head Self-Attention），其梯度计算涉及查询(Query)、键(Keys) 和 值(Values)矩阵之间的交互： 设 \(Q\) 表示查询矩阵, \(K\) 是键矩阵而 \(V\) 则代表值矩阵。这三个矩阵分别由输入嵌入\(X\)线性变换而来: \[ Q = XW_Q \quad K=XW_K\quad V=XW_V \] 其中,\( W_Q , W_K , W_V \)分别是对应的可训练参数矩阵. 当涉及到梯度时，这些操作可以被看作是简单的矩阵乘法运算，因此可以根据链式法则轻松求得相应的偏导数: ```python dL_dWq = dL_dQ @ X.T # 对于Query部分的权重梯度 dL_dWk = dL_dK @ X.T # 键部分的权重梯度 dL_dWv = dL_dV @ X.T # 值部分的权重梯度 ``` 这里`@`表示矩阵相乘的操作符，`T`指转置操作。 #### 层归一化(Layer Normalization) 为了稳定深层网络的学习过程，防止因过深而导致的梯度消失问题，通常会在残差连接之后应用层归一化处理[^2]: 如果记经过激活后的张量为 `Y`, 那么对其做LayerNorm即意味着要调整每一行特征的数据分布特性至均值0方差1的状态下再继续后续流程。 这种做法不仅有助于加速收敛速度而且还能提高泛化能力。 #### 权重更新规则 最终，基于上述所获得的各项梯度信息以及设定好的学习率η，就可以按照如下方式来迭代修正每一个待估参数θ : \[ θ := θ - η * ∇_θ L(y,f(x;θ)) \] 此处,L指的是定义在整个批次上的平均损失函数。\(\nabla_{\theta}\)则用来指示针对特定变量集取微分的动作。
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