导数大题练习2

已知$f(x)=x^3-6a{x}^2+9a^{2}x$（$a\in R$）
（1）求函数$f(x)$的单调递减区间。
（2）当$a>0$时，若对$\forall x\in [0,3]$都有$f(x)\le 4$成立，求实数$a$的取值范围。

解：
\quad（1）$f^{\prime }(x)=3x^2-12ax+9a^2=3(x-a)(x-3a)$

$\because$当$f^{\prime }(x)<0$时，$f(x)$单调递减

$\therefore$①当$a>0$时，$f(x)$的单调递减区间为$[a,3a]$

\qquad②当$a=0$时，$f(x)$没有单调递减区间

\qquad③当$a<0$时，$f(x)$的单调递减区间为$[3a,a]$

\quad（2）当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty ,a]$和$[3a,+\infty )$上单调递增，在$[a,3a]$上单调递减

\qquad①当$0<3a\le 3$时，即$0<a\le 1$时

\qquad题意即$f(a)=4a^3\le 4$且$f(3)=27a^2-54a+27\le 4$

\qquad解得$1-\frac{2\sqrt{3}}{9}\le a\le 1$

\qquad②当$a<3$且$3a>3$时，即$1<a<3$时

\qquad题意即$f(a)=4a^3\le 4$

\qquad解得$a$无解

\qquad③当$a\ge 3$时

\qquad题意即$f(3)=27a^2-54a+27\le 4$

\qquad解得$a$无解

\qquad综上所述，$a$的取值范围为$[1-\frac{2\sqrt{3}}{9},1]$