高阶导数习题

tanjunming2020

于 2022-10-27 15:09:36 发布

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分类专栏：数学文章标签：数学

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博客给出函数y=(2x−1)5(3x+7)7，求解y(12)和y(13)。解题思路是因求导次数大于等于x最高次数，只需关注x最高次数系数。通过设函数展开式，利用求导性质得出y(12)=25×37×12!，y(13)=0。

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已知 $y=(2x-1)^5(3x+7)^7$ ，则 $y(12)=‾y^{(12)}=\underline{\qquad}$ ， $y(13)=‾y^{(13)}=\underline{\qquad}$

解题思路：这道题看上去很吓人，再一看就能发现要求的导数的求导次数都大于等于 $x$ 的最高次数，所以我们只需要求出 $x$ 的最高次数的系数，其余的系数都不需要求

解：
设 $y=∑k=012akxky=\sum\limits_{k=0}^{12}a_kx^k$
则 $y(12)=∑k=012(akxk)′y^{(12)}=\sum\limits_{k=0}^{12}(a_kx^k)'$
$∵\because$ 当 $k < n$ 时， $x^k)^{(n)}=0$
$∴y(12)=(a12x12)(12)=a12(x12)(12)=a12×12!\therefore y^{(12)}=(a_{12}x^{12})^{(12)}=a_{12}(x^{12})^{(12)}=a_{12}\times12!$
$∵y=(2x−1)5(3x+7)7\because y=(2x-1)^5(3x+7)^7$
$∴a12=25×37\therefore a_{12}=2^5\times 3^7$
$∴y(12)=25×37×12!\therefore y^{(12)}=2^5\times 3^7\times 12!$ ， $y^{(13)}=(y^{(12)})'=0$