导数练习习题

tanjunming2020

于 2022-10-23 21:29:39 发布

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分类专栏：数学文章标签：数学

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本文解析了f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)的导数在x=0和x=-1处的值，通过设置中间函数g(x)并利用链式法则，展示了如何快速求解这类问题。关键在于识别0乘以任意数的性质，避免直接计算复杂的阶乘。

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已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)f(x)=x(x+1)(x+2)\dots(x+n)$ ，则 $f′(0)=‾f'(0)=\underline{\qquad}$ ， $f′(−1)=‾f'(-1)=\underline{\qquad}$

解：
设 $g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)g(x)=(x+1)(x+2)\dots(x+n)$ ，则 $f(x)=x⋅g(x)f(x)=x\cdot g(x)$
$∵f′(x)=g(x)+x⋅g′(x)\because f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)$
$∴f′(0)=g(0)+0=g(0)=n!\therefore f'(0)=g(0)+0=g(0)=n!$

设 $g(x)=x(x+2)…(x+n)g(x)=x(x+2)\dots(x+n)$ ，则 $f(x)=(x+1)⋅g(x)f(x)=(x+1)\cdot g(x)$
$∵f′(x)=g(x)+(x+1)g′(x)\because f'(x)=g(x)+(x+1)g'(x)$
$∴f′(−1)=g(−1)+0=g(−1)=−(n−1)!\therefore f'(-1)=g(-1)+0=g(-1)=-(n-1)!$

总结

对于这一类题， $f^{'} (x)$ 算是很难算出来的，所以我们需要利用 $[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ，将题目中给定的自变量的值在求导的过程中得到一个 $0⋅A0\cdot A$ 的部分，然后后面一部分就不需要计算了，这样就能更快地解决问题。