定积分求旋转体的体积

前置知识

• 黎曼积分的概念
• 定积分求平面区域的面积

定积分求旋转体的体积

设平面区域$D$由$x=a$，$x=b$，$x$轴和连续曲线$y=f(x)$围成。将$D$绕$x$轴旋转一周，得到旋转体$H$，我们要计算旋转体$H$的面积。

设$V(x)$为$H$中横坐标在$[a,x]$上的部分的体积，取$x$的增量$\Delta x>0$，记$f(x)$在区间$[x,x+\Delta x]$上的上、下确界分别为$M$和$m$，则$\Delta V$应介于$\pi m^2\Delta x$和$\pi M^2\Delta x$之间。因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，所以当$\Delta x\to 0$时，

$\pi m^2\Delta x=\pi f(x{)}^2\Delta x+o(\Delta x)$

$\pi M^2\Delta x=\pi f(x{)}^2\Delta x+o(\Delta x)$

由此可得

$\Delta V=\pi f(x{)}^2\Delta x+o(\Delta x)$

所以，$V(x)$的微分为

$dV=\pi f(x{)}^{2}dx$

那么，旋转体$H$的体积为

$V={\int }_a^b\pi f(x{)}^{2}dx=\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$

这样就能够求出旋转体的体积了。

例题

求曲线$y=\sin x(x\in [0,\pi ])$绕$x$轴旋转得到的旋转体的体积。

解：
$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx$

\qquad 因为${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}xdx$

\qquad 所以$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi \frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)dx=\frac{{\pi }^2}{2}$