导数大题练习（2023年高考真题）

已知函数$f(x)=a(e^x+a)-x$
（1）讨论$f(x)$的单调性
（2）证明：当$a>0$时，求证：$f(x)>2\ln a+\frac{3}{2}$

解：
\quad(1)$f^{\prime }(x)=a{e}^x-1$

\qquad①$a>0$时，$x=-\ln a$时$f^{\prime }(x)=0$

$f(x)$在$[-\ln a,+\infty )$上单调递增，在$(-\infty ,-\ln a]$上单调递减

\qquad②$a\le 0$时，$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上单调递减

\quad(2)由(1)得$x=-\ln a$时$f(x)$取最小值

\qquad题目即证$f(-\ln a)>2\ln a+\frac{3}{2}$

\qquad即$1+a^2+\ln a>2\ln a+\frac{3}{2}$，$a^2-\ln a-\frac{1}{2}>0$

\qquad令$g(a)=a^2-\ln a-\frac{1}{2}$，则$g^{\prime }(a)=2a-\frac{1}{a}$

\qquad当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$时$g^{\prime }(a)=0$

$g(a)$在$[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty )$上单调递增，在$(-\infty ,\frac{\sqrt{2}}{2}]$上单调递减

\qquad所以$g(a)\ge g(\frac{\sqrt{2}}{2})=-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\ln \sqrt{2}>0$

\qquad即$a^2-\ln a-\frac{1}{2}>0$

\qquad得证$f(x)>2\ln a+\frac{3}{2}$