【题解】括号染色

题目描述

Petya遇到了一个关于括号序列的问题：
给定一个字符串S，它代表着正确的括号序列，即（“(”）与 （“)”）是匹配的。例如：“(())()” 和 “()”是正确的，“)()”与“(()”则不是正确的。
在正确的括号序列中，一个左边的括号一定是匹配一个右边的括号（反之亦然）。例如，在下图中，第 3 个括号匹配第 6 个括号，第 4 个括号匹配第 5 个括号。

现在你需要对一个正确的括号序列做涂色操作，严格满足以下三个条件：

1. 每个括号要么不涂色，要么涂红色，要么涂蓝色。

2. 一对匹配的括号需要且只能将其中一个涂色。

3. 相邻的括号不能涂上同一种颜色（但是可以都不涂颜色）。

求：给整个括号序列涂上颜色的方案数，答案可能比较大，对 $1e9+7$ 取模。

题解

用 dp[x][y][i][j] 表示 $x$ 到 $y$ 这个区间左端点染 $i$，右端点染 $j$ 的方案数。首先用栈预处理出每个左端点对应的右端点，然后转移的时候考虑三种情况：

区间长度为 $2$，这时候枚举 $4$ 种染色情况，每种方案都是 $1$。
match[x]==y 时，先处理 $x-1$ 到 $y-1$，再根据边界的染色情况进行转移。
match[x]!=y 时，先分别处理 $x$ 到 match[x] 和 match[x]+1 到 y y