群论学习笔记

一、群的定义
群定义在二元组(S,$\oplus$)上，S是一个集合，$\oplus$是一个运算。要求二元组满足群公理：
1、封闭性：$\forall x,y \in S,x \oplus y \in S$(x,y可以相等)
2、结合律：$\forall a,b,c \in S,a\oplus b \oplus c=a \oplus (b\oplus c)$(a,b,c可以相等)
3、单位元：$\exists e \in S,\forall x \in S,e \oplus x=x \oplus e=x$(x,e可以相等，我们往往用e代表单位元，也叫幺元)
4、逆元：$\forall x \in S,\exists y \in S,x\oplus y=y\oplus x=e$(x,y可以相等，我们称y为x的逆元，记作$x^{-1}$)
二、一些比较简单的想法。
如果$s \oplus x=e$，我们称s是x的左逆元；如果$x \oplus t=e$,我们称t是x的右逆元。
若x有左逆元，则x有相等且唯一的左右逆元；在S有限时，x有逆元与对x有消去律等价，而在S无限时消去律是逆元存在的必要条件。
证明：
①若$\forall a \in S,\exists s,s\oplus a=e$，则$\forall a \in S,a \oplus s=e$。即a的左逆元就是a的右逆元。
设$t\oplus s=e$，则$a\oplus s=(t\oplus s)\oplus (a\oplus s)=t\oplus (s\oplus a)\oplus s=t\oplus s=e$.
②在有限集合中，逆元存在于消去律存在等价（即我们把群公理第四条换为$\forall a,x,y\in S,ax=ay<=>x=y$）。
消去律：$x \oplus a=y \oplus a$与$x=y$互为充要条件。
（消去律=>逆元）只需在等式两边$\oplus a^{-1}$即可。
（逆元=>消去律）对于a，若$\forall x,y\in S,ax=ay<=>x=y$，则令$S'={ax|x\in S}$，因为ax互不相同，所以$|S'|=|S|$，又因为封闭性，所以$S' \subset S$，即$S'=S$，那么必然$\exists e\in S'$，即$\exists x\in S,ax=e$，于是我们就找到了a的逆元。

但当S无限时，消去律是逆元的必要条件。因为这样的话我们无法通过比较集合大小来判断集合相等了，无限集合的子集的大小是可能与自己相等的，比如$(N*,*)$，它满足封闭律、结合律、单位元、消去律，但是它并没有逆元。
（upd：这里我之前没有考虑到无限群的情况以为必然是等价的。。感谢xiaoyimi的指正！）
③a的逆元唯一。
若a有两个逆元$s,t,s\not=t,a \oplus s=s \oplus a=a \oplus t=t \oplus a=e$，则$s=s \oplus (a \oplus t)=(s\oplus a)\oplus t=t$，与假设不符。

也就是说，实际上群公理第四条可以写成：$\forall x \in S,\exists y \in S,y \oplus x=e$。
三、常见的实例
1、$(Z,+),(Q,+),(R,+)$，单位元是0，$x^{-1}=-x$
2、$(Z_n,+\ \mod \ n)(Z_n=\{ x \in N|x<n\})$.单位元是0，$x^-1=n-x$。
3、$(Z_n^*,*\ \mod \ n)(Z_n^*=\{ x \in Z_n| (x,n)=1\})(n>1)$。
为什么有逆元呢（当然我们可以通过欧拉定理知道，但是我想给出一种不依赖于欧拉定理的想法），因为$Z_n^*$中有消去律存在。
若$ax=ay \ \mod \ n$，则$n\big|a|x-y|$，$a,x,y\in Z_n^*$，所以$x=y$.
4、置换群：群中元素是置换（双射），$\oplus$是置换（双射）的复合。项链、图同构（常见于各种化学物质）。
四、拉格朗日定理
内容：若有限群$(S,\oplus)$有子群$(S',\oplus)$，则$|S'|\big | |S|$.
证明：需要引入陪集的概念，S’关于$a \in S$的右陪集定义为$S'_a=\{ x \oplus a | x \in S' \}$，左陪集为$_aS'=\{ a \oplus x |x \in S' \}$。
那么对于$a,b \in S$,设$S'_a \cap S'_b \not= \varnothing$，则$\exists x,y \in S',x \oplus a=y \oplus b,b=(y^{-1} \oplus x) \oplus a,∴\forall z \in S',z \oplus b=z \oplus y^{-1} \oplus x \oplus a=(z \oplus y^{-1} \oplus x)\oplus a$,注意到有$z \oplus y^{-1} \oplus x \in S',∴\forall x \in S'_b,x \in S'_a,\forall x \in S'_a,x \in S'_b,∴S'_a=S'_b$
所以对于$S'$的每一个陪集，大小必然与$|S'|$相等。而$\bigcup_{x\in S}S'_x=S$，所以$|S'|\big| |S|$.
推论：
欧拉定理：考虑群$(Z_n^*,* \ \mod \ n),$由前面关于逆元的讨论可知，数列$\{ a^0,a^1,a^2,... \}$有循环节$|\{ a^0,a^1,a^2,... \} |=x,a^x=1$，且$(\{ a^0,a^1,a^2,... \} ,* \ \mod \ n)$显然是一个子群，所以$x\big| |Z_n^*|$，即$x| \phi (n)$。
五、轨道-稳定化子定理
我们考虑置换群G，其中每一个元素均是对M中元素的置换$f(x)=y(x,y \in M)$，则让M中元素x不变的置换显然构成了一个子群$stab(x)=(\{ f \in G|f(x)=x\} ,*)$，我们称这个集合为x的稳定化子。
而x通过G中的置换能变成的元素集合我们称为x的轨道$orbit(x)=\{ f(x)|f \in G \}$。
那么其实显然，orbit(x)就是stab(x)的陪集数，类似上面我们对拉格朗日定理的证明，可以得到$|stab(x)||orbit(x)|=|G|$
六、Burnside‘s引理
这个引理是用来求M中本质不同的元素个数，如果$\exists f \in G,f(x)=y$，则称x与y是本质相同的。所以就是求M中轨道数。
而M中轨道数可以这样写：

$$\sum_{x \in M}{1\over |orbit(x)|}$$ (这样的话，每个x的轨道有|orbit(x)|个元素，而每个元素都贡献了$1\over |orbit(x)|$，所以每条轨道都会被计算一次) $$={\sum_{x\in M}|stab(x)| \over |G|}$$ （轨道-稳定化子定理） $$={\sum_{f \in G}|M^f|\over |G|}={\sum_{f\in G}|\{ x \in M|f(x)=x \}|\over |G|}$$ （本来我们考虑的是对于M中的每一个元素，有多少置换让它们不变；那它显然等于对于G中的每一个置换，它能让多少M中的元素不变）
Burnside’s引理首先找到了轨道数与轨道长度之间的关系，然后通过轨道-稳定化子定理将其与G联系起来，然后改变枚举量。它是用来解决那种置换较少或较便于计算，元素情况比较复杂的问题。