85.最大矩形 python

题目

题目描述

给定一个仅包含 0 和 1 、大小为 rows x cols 的二维二进制矩阵,找出只包含 1 的最大矩形,并返回其面积。

示例 1:

在这里插入图片描述

输入:matrix = [[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]]
输出:6
解释:最大矩形如上图所示。

示例 2:

输入:matrix = [[“0”]]
输出:0

示例 3:

输入:matrix = [[“1”]]
输出:1

提示:

rows == matrix.length
cols == matrix[0].length
1 <= row, cols <= 200
matrix[i][j] 为 ‘0’ 或 ‘1’

题解

这个问题被称为“最大矩形问题”,它可以通过将每一行视为柱状图的底,然后计算每个柱状图中最大的矩形面积来解决。具体来说,我们可以使用动态规划(Dynamic Programming, DP)的方法来构建高度数组,并利用之前提到的“柱状图中最大的矩形”算法来计算每行的最大矩形面积。

解题思路

  1. 初始化:创建一个与矩阵列数相同长度的高度数组 heights,用于存储当前行及其以上连续 ‘1’ 的数量。
  2. 遍历每一行
    • 对于每一行中的每一个元素,更新 heights 数组。如果当前元素是 ‘1’,则在对应位置的高度加 1;如果是 ‘0’,则重置为 0。
  3. 调用辅助函数:对于每一行更新后的 heights 数组,调用一个辅助函数 largestRectangleArea 来计算该行作为底部时的最大矩形面积。
  4. 记录最大值:在每次调用 largestRectangleArea 后,比较并记录最大面积。

辅助函数 largestRectangleArea

这个辅助函数用于计算给定高度数组所能形成的最大矩形面积。可以参考之前的讨论,使用单调栈方法实现。

Python 实现代码

### 最大加权矩形问题的 Python 实现 最大加权矩形问题是经典的动态规划问题之一,目标是从一个二维矩阵中找出子矩阵,使得该子矩阵内所有元素之和达到最大值。以下是基于动态规划的方法来解决问题的具体实现。 #### 动态规划的核心思路 通过预处理前缀和数组 `prefix_sum` 来加速求解任意子矩阵的权重总和。随后利用枚举上下边界的方式逐步缩小搜索范围,并在此基础上应用 Kadane 算法(用于一维数组的最大子序列和)完成优化[^2]。 #### Python 实现代码 以下是一个完整的 Python 解决方案: ```python def max_weight_rectangle(matrix): if not matrix or not matrix[0]: return 0 rows, cols = len(matrix), len(matrix[0]) # 计算每一列的累积和 (类似于柱状图的高度) result = float('-inf') for upper_bound in range(rows): # 上边界从第upper_bound行开始 col_sums = [0] * cols # 初始化当前层每列的累计高度 for lower_bound in range(upper_bound, rows): # 下边界逐渐扩展到lower_bound for c in range(cols): col_sums[c] += matrix[lower_bound][c] # 更新当前层的高度 # 对于固定的上下边界,使用Kadane算法找到最大的连续区间和 current_max, global_max = kadane(col_sums) result = max(result, global_max) return result def kadane(array): """ 使用Kadane算法计算一维数组中的最大子数组和。 返回两个值:current_max表示局部最优解;global_max表示全局最优解。 """ current_max = array[0] global_max = array[0] for i in range(1, len(array)): current_max = max(array[i], current_max + array[i]) # 当前位置的最大和 global_max = max(global_max, current_max) # 整体最大和更新 return current_max, global_max # 测试用例 if __name__ == "__main__": test_matrix = [ [1, -2, 3], [-4, 5, -6], [7, -8, 9] ] print(max_weight_rectangle(test_matrix)) # 输出应为12 ``` 上述代码实现了固定上下边界后的一维最大子数组和查找功能,并将其嵌套至双循环结构之中以覆盖整个矩阵的所有可能性。最终返回的是满足条件的最大加权矩形面积。 #### 复杂度分析 - 时间复杂度:O(n³),其中 n 表示矩阵维度大小。外两重循环负责遍历所有的可能上下边界组合,而内部调用了线性时间复杂度 O(m) 的 Kadane 算法。 - 空间复杂度:O(m),仅需维护临时变量以及辅助存储列累加结果的空间开销。 --- ###
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