HDU 4549 M斐波那契数列 (费马小定理降幂&矩阵快速幂)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

  
  

   
   0 1 0
6 10 2
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   0
60
  
  

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

思路：

1. 首先得出封闭形式：

F[n]=a  (n=0)

F[n]=a^Fib[n-1]*b^Fib[n]  (n>0)

2. 发现1000000007是质数，遂用费马小定理，得

F[n]%m=a^(Fib[n-1]%(m-1))*b^(Fib[n]%(m-1))%m

3. f[n]%(m-1)的计算用矩阵快速幂

4. a^x的计算用快速幂

完整代码：

/*0ms,232KB*/

#include<cstdio>
const long long M = 1000000007;

struct Matrix
{
	long long mat[2][2];
};
const Matrix P =
{
	1, 1,
	1, 0,
};
const Matrix I =
{
	1, 0,
	0, 1,
};

Matrix matrixmul(Matrix a, Matrix b)
{
	Matrix c;
	int i, j, k;
	for (i = 0 ; i < 2; ++i)
		for (j = 0; j < 2; ++j)
		{
			c.mat[i][j] = 0;
			for (k = 0; k < 2; ++k)
				///利用费马小定理
				c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % (M - 1);///行*列
			c.mat[i][j] %= (M - 1);
		}
	return c;
}

///P^n%(M-1)，P已在程序开头定义
Matrix quickpow(long long n)
{
	Matrix m = P, ret = I;
	while (n)
	{
		if (n & 1) ret = matrixmul(ret, m);
		n >>= 1;
		m = matrixmul(m, m);
	}
	return ret;
}

///a^b%M
long long quickpow(long long a, long long b)
{
	long long ret = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ret = ret * a % M;
		b >>= 1;
		a = a * a % M;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	long long a, b, n;
	Matrix q;
	while (~scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &n))
	{
		q = quickpow(n);///不需要特判哦
		printf("%I64d\n", quickpow(a, q.mat[1][1]) * quickpow(b, q.mat[1][0]) % M);///a^Fib(n-1)*b^Fib(n)%M
	}
	return 0;
}