13、密码学中的基础数学知识与代数概念

密码学中的基础数学知识与代数概念

1. 组合数学基础

在组合数学中，确定给定排列的组合数量时，我们有简便的方法。比如对于全排列，若有 (n) 个对象，其排列组合的数量为 (n!)，这里的 (n!) 是阶乘符号，表示 (n\times(n - 1)\times(n - 2)\times(n - 3)\cdots) 。例如 (4! = 4\times3\times2\times1 = 24)。

当我们要从 (n) 个对象的集合中选取 (r) 个对象进行排列（(0 < r < n)），每个可能的选择被称为 (r -) 排列。以下是具体例子：
- 若集合为 ({a, b, c})，要选取两个字母的 (r -) 排列，有 (ab)、(ba)、(ac)、(ca)、(bc)、(cb)，共 (6) 种。计算过程为 (n = 3)，(r = 2)，(3! = 3\times2\times1 = 6)，((n - r)!=(3 - 2)!=1)，(\frac{3!}{(3 - 2)!}=\frac{6}{1}=6)。
- 若集合为 ({a, b, c, d})，选取两个字母的 (r -) 排列，有 (ab)、(ac)、(ad)、(ba)、(bc)、(bd)、(ca)、(cb)、(cd)、(da)、(db)、(dc)，共 (12) 种。计算过程为 (n = 4)，(r = 2)，(4! = 4\times3\times2\times1 = 24)，((n - r)!=(4 - 2)!=2)，(\frac{4!}{(4 - 2)!}=\frac{24}{2}=12)。

由此可知，(n) 个对象集合的 (r -) 排列数量公式为 (\frac{n!}{(n - r)!})。