13、密码学中的数学基础：组合数学与代数结构

密码学中的数学基础：组合数学与代数结构

1. 组合数学基础

1.1 排列组合的计算

在组合数学中，我们常常需要计算给定元素的排列组合数量。例如，对于四个字母 abcd ，其所有可能的排列如下：

abcd
acbd
bcad
bacd
cabd
cbad
abdc
acdb
bcda
badc
cadb
cbda
adbc
adcb
bdca
bdac
cdab
cdba
dabc
dacb
dbca
dbac
dcab
dcba

幸运的是，我们无需每次都列出所有可能性来确定排列组合的数量。答案是 n! ，这里的 n! 是阶乘符号，表示 n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) ... 。例如， 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 。

1.2 r - 排列的计算

当我们从 n 个对象中选择 r 个对象进行排列时（ 0 < r < n ），这种排列称为 r - 排列 。以下是不同情况下 r - 排列 的示例：
- 从集合 {a, b, c} 中选择 2 个字母的 r - 排列 ：