20、非自治耗散动力系统与微分包含的相关研究

非自治耗散动力系统与微分包含的相关研究

1. 非自治耗散动力系统的统一轨迹吸引子

1.1 主要定理

对于非自治微分 - 算子包含问题，在满足假设 (I) - (V) 的条件下，存在平移半群 ${T (t)} {t\geq0}$ 在 $K^+$ 上的统一轨迹吸引子 $U \subset K^+$，其拓扑由 $C {loc}(R^+; H)$ 诱导。同时，存在一个在 $C_{loc}(R^+; H)$ 中紧致的一致吸引集 $P \subset C_{loc}(R^+; H) \cap L^{\infty}(R^+; H)$，使得 $U$ 与 $P$ 的 $\omega$ - 极限集重合，即：
$U = \bigcap_{t\geq0} cl_{C_{loc}(R^+; H)} \left[ \bigcup_{h\geq t} T (h)P \right]$

1.2 辅助构造

在证明上述定理之前，需要进行一些辅助构造。由假设 (II) 和 (III) 可知，存在正常数 $\alpha’ > 0$ 和 $L_{loc}^1 (R^+)$ 中的 t.u.i. 函数 $c’$，使得对于每个 $u \in \bigcap_{i = 1}^{N} V_i$ 和几乎处处的 $t > 0$，有 $A(t, u) \subseteq A_{c’ (t)}(u)$，其中：
$A_{c’ (t)}(u) := \left{ \sum_{i = 1}^{N} p_i : p_i \in V_i^ , \sum_{i = 1}^{N} \langle p_i, u \rangle_{V_i} \geq \alpha’