11、随机格微分方程的渐近动力学综述

随机格微分方程的渐近动力学综述

1. 引言

在大多数现实动力系统中，存在着被称为噪声的随机时空强迫。这种噪声可以是单个系统参数的波动随机性，也可以是涉及个体间差异的方程中的随机性。噪声通常有两种来源：一是影响系统但未在模型中明确描述的外部噪声，二是由于动力系统的随机性质产生的内部噪声。因此，在动力系统中考虑噪声不仅是为了弥补确定性模型的缺陷，更重要的是为了表示系统固有的随机结构。随机格微分方程（SLDEs）成为描述具有离散结构和不确定性系统基本动力学的理想工具。

与确定性格微分方程（LDEs）的综合研究成果相比，对SLDEs的研究才刚刚起步，主要原因是分析系统内的随机性和非线性具有挑战性。在过去的二十年里，随机动力系统（RDSs）理论在描述具有随机强迫的系统的渐近行为方面取得了显著进展。本文将基于随机动力系统理论，综述各类SLDEs全局随机拉回吸引子存在性的最新研究成果。由于常规的无限序列空间可能会排除一些重要的解，如行波解等有界分量的解，因此我们考虑更具包容性的加权无限序列空间。

2. 随机动力系统的预备知识

为了理解随机拉回吸引子的概念，我们先从非自治动力系统中的拉回吸引子概念入手。考虑一个非自治常微分方程的初值问题：
(\dot{x}(t) = f (t, x))，
(x(t_0) = x_0)。

当存在唯一性定理成立时，该初值问题的解映射(\varphi(t, t_0, x_0))若满足以下性质，则可构成一个过程：
- 初始值性质：(\varphi(t_0, t_0, x_0) = x_0)；
- 双参数半群演化性质：(\varphi(t_2, t_0, x_0) = \varphi (t