10、非自治恒化器模型与随机格点微分方程的动力学研究

非自治恒化器模型与随机格点微分方程的动力学研究

非自治恒化器模型动力学

在非自治恒化器模型中，我们首先关注系统解的有界性和吸引子的存在性。通过定义函数 (u(s) = s/2) 和 (v(s) = 2s)，可以得到不等式 (u(|(x, y_1, y_2)|) \leq V (t, x, y_1, y_2) \leq v(|(x, y_1, y_2)|))。沿着系统解对 (V) 求时间导数，经过一系列推导可得：
当固定 (q = 1 + \epsilon)，且 (\epsilon) 足够小以及 (\min{D, \gamma - c} > b\gamma) 时，(G_q > 0)。定义 (w(s)) 如下：
[
w(s) =
\begin{cases}
0, & s \leq \frac{DI}{G_q}\
\frac{1}{2}(G_qs - DI), & s > \frac{DI}{G_q}
\end{cases}
]
则有 (\dot{V}(t, \varphi(0)) \leq -w(|\varphi(0)|)) 对任意 (|\varphi(0)| \geq 0) 成立。由此可知系统的解是一致最终有界的，进而存在吸收集，非自治吸引子的存在性也随之得到证明。

对于无延迟的特殊情况（(\tau_1(t) = \tau_2(t) = 0)），系统由常微分方程组成。通过变量替换 (\alpha(t) = \frac{y_1(t)}{y_1(t) + y_2(t)}) 和 (z(t) = y_1(t) + y_2(t))，系统可转化为以下形式：
[
\begi