常微分方程——连续动力系统部分知识备忘

最近为了重拾一下曾经没学懂的部分，这里抄书抄笔记等附带一些个人想法留作记录。

Lyapunov直接法

首先我们为什么要用Lyapunov直接法，也就是Lyapunov第二方法？
在学习Lyapunov稳定性时，非线性系统零解稳定性判定的时候：
设$A$为$n$阶常矩阵，向量函数R(t,$\vec{x}$)在区域$G=\{(t,\vec{x})\in R^{n+1}:t\ge t_0,||\vec{x}||\le M\}$上连续，关于$\vec{x}$满足Lipschitz条件且$\forall t\ge t_0$满足：
$$\begin{gathered} R(t,\vec{x})\equiv 0 \\ \underset{||x||\to 0}{\lim }\frac{||R(t,\vec{x})||}{||\vec{x}||}=0\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
则
$$\frac{d\vec{x}}{dt}=A\vec{x}+R(t,\vec{x})\text{\hspace{1em}(2)}$$
的零解：
1.当A全部特征根的实部都是负数时是渐近稳定的；
2.当A的特征根中至少有一个实部为正是不稳定的。

实际上，有一种临界情形，也就是矩阵$A$具有实部为0的特征根的情形。上述由线性近似来判定稳定性的方法并没有回答这个问题。因为这个时候方程的零解稳定性可能不仅由其线性部分来决定，其高阶项的影响也是不可以简单忽略掉的。
那么这个时候就要请出我们的第二方法。
Lyapunov第二方法阐述如下：
设$x\in R^n,\text{f}(\vec{0})=\vec{0}$且$\text{f}(\vec{x})$在区域G={x∈Rn:∣∣x⃗∣∣≤M}G = \{\textbf{x} \in R^n:||\vec{x}|| \le M\}G={x∈Rn:∣∣x∣∣≤M}内连续可微。考虑：
$$\frac{d\vec{x}}{dt}=\text{f}(\vec{x})\text{\hspace{1em}(3)}$$
由Picard定理，它的初值问题解存在唯一且有零解。

Lyapunov第二方法的基本想法

观察在零解附近任意一个解的$\vec{x}(t)$轨道是否随着$t$的变化越来越接近零解或者始终不远离（渐进）。

如何观察？第二方法告诉了我们一个构造函数的方法。实际上，这个构造的函数为了达到上述想法，我们可以从“能量函数”（让我想起Hamilton系统），“位势函数”（divergence是自然的想法），“距离函数”（范数，衡量距离的工具）等方向思考入手，用来检测$\vec{x}(t)$与原点$O$的位置关系。
那么这个函数，我们当然会想好一点。比如这个函数可以连续，可以可微，甚至可微性要很好，不要在某些点趋近病态变化。

那么第二方法给了我们一个方法如下：
对于定正的连续可微函数$V(\vec{x})$来观察轨道上动点$\vec{x}(t)$与原点$O$的位置关系。$V(\vec{x}(t))$关于$t$的增加或者减少可以反映出轨道运动的稳定性。
考虑将(3)中的解$\vec{x}(t)$代入$V(\vec{x})$并考虑对$t$的导数：
$$\frac{dV}{dt}{|}_{(3)}=\frac{dV(\vec{x}(t))}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}{f}_i$$
上述称为$V(\vec{x})$通过系统(3)的全导数

Lyapunov稳定性判据

1.若存在定正函数$V(\vec{x})$，且通过系统(3)的全导数为常负的，则(3)零解稳定
2.若存在定正函数$V(\vec{x})$，且通过系统(3)的全导数为定负的，则(3)零解渐进稳定
3.若存在定正函数$V(\vec{x})$，且通过系统(3)的全导数为定正的，则(3)零解不稳定
证明可看张伟年第二版p174

那么接下来的问题就是如何构造这个Lyapunov函数$V(\vec{x})$。
很遗憾的是，没有一般方法构造这个函数。所以人们有时候寻求二次型构造，有时候把系统理解为质点的运动方程，用系统的总能量构造。

以二维来看，系统(3)的解可以看成平面上以$t$为参数的轨道。若$V$定正，当c充分小时，随着c逐渐增大，曲线族$V(x_1,x_2)=c(c>0)$为包含原点在内但不相交的一个一个嵌套的曲线族如下：

上述的稳定性判据在二维的情况下，可以理解为：
若导数$\dot{V}\le 0$（常负），则$\vec{x}(t)=(x_1(t),x_2(t))$对$t\ge t_0$为不增函数，因此轨道要么随着$t$的增加一层层进入闭曲线族，要么沿着这些曲线运动，但不会由这些曲线的内部走到外部去，从而零解稳定。
若导数$\dot{V}$定负，则任一轨道当$t\ge t_0$时只能随着$t$的增加由外向内进入闭曲线族$V(x_1,x_2)=c$并渐进地趋于原点。
不稳定时，会走出去。
这里可以看出来渐近稳定（下面穿出去$\delta$又穿回来的）是比稳定（上面穿出去$\delta$不回来但是在$ϵ$代表的轨道里的）更强的条件，因为渐近稳定下系统会收敛到零解。

弱化稳定的情况

例：研究系统
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=y-x{y}^2\\ \dot{y}=-x^3\end{array}$$
的稳定性。
这个时候取二次型是不行的。
二次型上有一个一般的定正函数：
$$\begin{gathered} V(x,y)=a{x}^{2m}+b{y}^{2n} \\ m,n\in N^{\ast } \end{gathered}$$
$a,b$待定。
计算对于系统的全导数后：
$$\frac{dV}{dt}=2(ma{x}^{2m-1}y-nb{x}^3{y}^{2n-1}-ma{x}^{2m}{y}^2)$$
取$m=2,n=1,a=1,b=2$，则有：
$$V(x,y)=x^4+2y^2,\frac{dV}{dt}=-4x^4{y}^2$$
这个时候的$\dot{V}$就很合意，因为它常负，$V$定正，可以使用上述稳定性判据，于是零解稳定。但是零解是否是渐进稳定的呢？
巴尔巴欣-克拉索夫斯基定理
若存在定正函数$V(\vec{x})$，其通过方程组(3)的全导数$\frac{dV}{dt}$为常负函数，但让$\frac{dV}{dt}=0$的点$\vec{x}$的集合中除(3)的零解外不包含(3)的整条正半轨（即$\vec{x}=(x_1(t),x_2(t),\dots )$当$t\ge t_0$在平面上定义的曲线），则方程组(3)的零解是渐近稳定的。
那么上例中，显然$V$是定正的，$\frac{dV}{dt}$是常负的，但是让$\frac{dV}{dt}=0$的点集中除了零解（此处是$(x,y)=(0,0)$外不包括整条正半轨），故由上述定理可以得知零解稳定。