12、随机格点微分方程与广义Cahn - Hilliard方程研究综述

随机格点微分方程与广义Cahn - Hilliard方程研究综述

随机格点微分方程的渐近动力学

随机格点微分方程（SLDEs）的研究在多个领域有着重要意义，特别是在研究系统的长期行为时，全局随机吸引子的概念起到了关键作用。

一阶与二阶SLDEs的全局随机吸引子

对于一阶SLDEs，在满足一定条件下，存在唯一的全局随机吸引子。例如，当$\omega \in \Omega_1$且条件$(P0)$，$(H1)$ - $(H4)$，$(H6)$成立时，由方程生成的随机动力系统（RDS）${\tilde{\Phi}(t, \omega)} {t\geq0,\omega\in\Omega}$具有唯一的全局随机吸引子$A {1\rho}(\omega)$，其表达式为：
$A_{1\rho}(\omega) = \bigcap_{\tau\geq T_{B_{1\rho}(\omega)}} \overline{\bigcup_{t\geq\tau} \tilde{\Phi}(t, \theta^{-t}\omega)B_{1\rho}(\theta^{-t}\omega)} \in l^2_{\rho}$

对于二阶SLDEs，以如下系统作为模型：
$\ddot{u} i + \lambda\dot{u}_i + (Au)_i + \alpha_iu_i + f_i(u_i) = g_i + \beta_i \dot{w}_i$，$i = (i_1, i_2, \ldots, i_k) \in Z^k$，$t > 0$
其初始条件为$u_i(0) = u {0i}$，$\dot{u}