8、微分形式的不变性方程与动力学的膜扩展

微分形式的不变性方程与动力学的膜扩展

1. 微分形式的不变性方程

1.1 不变性的微分条件

在研究动力系统时，通常需要考虑系统解的存在性和唯一性定理。然而，在研究物理和化学动力学相关方程（如流体动力学方程）时，这一前提条件会带来困难。不过，存在一个必要的不变性微分条件：原始动态系统的向量场在每一点都与流形相切。

设 (E) 为线性空间，(U)（相空间）是 (E) 中的一个区域，在 (U) 中定义向量场 (J: U \to E)，该向量场定义了原始动力系统：
(\frac{dx}{dt} = J(x), x \in U) (3.1)

考虑 (U) 中由给定参数集参数化的子流形。设参数的线性空间为 (L)，(W) 是 (L) 中的一个区域。对于可微映射 (F: W \to U)，使得对于每个 (y \in W)，(F) 的微分 (D_yF: L \to E) 是 (L) 到 (E) 的子空间的同构。即 (F) 是浸入动力系统 (3.1) 相空间中且由参数集 (W) 参数化的流形。

记 (T_y) 为点 (y) 处的切空间，(T_y = (D_yF)(L))。不变性的微分条件形式如下：对于每个 (y \in W)，
(J(F(y)) \in T_y) (3.2)

1.2 不变性条件的微分方程形式

为了将不变性微分条件 (3.2) 重写为微分方程的形式，需要为每个 (y \in W) 定义投影算子 (P_y: E \to T_y)。一旦定义了投影算子 (P_y)，条件 (3.2) 就变为：
(\Delta_y = (1 - P_y)J(F(y)) = 0) (3.3) <