洛谷 P1787 [入门赛 #22] 非众数 Hard Version题解

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于 2025-01-23 19:35:34 首次发布

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P1787 [入门赛 #22] 非众数 Hard Version题解

此蒟蒻的第一篇题解，有问题请指出，不喜轻喷！

声明:代码及思路的提供来自于@pjh0625

1. 读题

题目要求计算给定字符串中非众数子串的数量。
非众数子串的定义是：子串中出现次数最多的字符的频率不超过子串长度的一半。
非众数串的定义是：一个字符串 s 中，没有任何字符的出现次数超过字符串长度的一半。

2. 解题思路

直接暴力解法（遍历所有子串并判断）的时间复杂度为o( $n^2$ ) ,在 $n≤10^5$ 的数据范围内会超时。因此，我们需要一种更高效的算法。
树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）。

树状数组的作用：
- 树状数组可以高效地维护和查询前缀和，时间复杂度为 $O (l o g n)$ 。
- 通过树状数组，我们可以快速统计子串中某个字符的频率。
离散化处理：
- 为了处理负数索引问题，我们将每个字符的频率和位置信息离散化为正整数。
- 具体来说，对于每个字符 c我们使用 2 * sum - j + n作为树状数组的索引，其中 sum 是当前字符的频率，j 是当前索引。
动态计算众数子串：
- 对于每个字符（a 到 z），遍历字符串中的每个位置。
- 使用树状数组统计以该字符为“众数”的子串数量。
- 最终，通过总子串数量减去众数子串数量，得到非众数子串的数量。

3.代码逻辑:

初始化
- 输入字符串并计算其长度。
- 初始化树状数组 t 和众数子串数量cnt。
遍历每个字符（a 到 z）:
- 对于每个字符c，初始化树状数组并计算其频率。
- 遍历字符串中的每个位置 j，动态更新树状数组。
动态更新树状数组:
- 如果当前字符是目标字符，频率 sum 加1。
- 使用树状数组查询当前子串的贡献，并更新众数子串数量 cnt
- 更新树状数组，将当前频率和位置信息离散化后存入树状数组。
计算非众数子串数量:
- 总子串数量为 $\frac{n(n+1)}{2}$
- 非众数子串数量 = 总子串数量 - 众数子串数量。

5.代码实现

头文件和变量定义

#include<bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 5; // 定义最大字符串长度
typedef long long ll;//重定义，将 long long 定义为 ll（懒得写）
int n, t[maxn]; // n 为字符串长度，t 为树状数组
ll cnt; // 用于记录众数子串的数量
char s[maxn]; // 存储输入的字符串

自定义函数函数

inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
// 更新树状数组
inline void gx(int x) {
	for (; x<=n*3;x+=lowbit(x)) t[x]++;
}
// 查询树状数组的前缀和
inline int cx(int x,int res=0) {
	for (; x;x-=lowbit(x))res+=t[x];
	return res;
}

输入字符串及获取长度（已进入主函数）

  scanf("%s", s + 1);// 输入字符串
  n=strlen(s + 1); // 获取字符串长度

用cin和cout的同学加上这两句：

//关闭同步不流，为cin和cout加速
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr)

遍历每个字符（a-z）

for (int i = 0; i < 26; i++) {
		memset(t, 0, sizeof t); // 初始化树状数组
		int sum = 0; // 当前字符的频率
		// 遍历字符串中的每个位置
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			if (s[j] == i + 'a') sum++; // 如果当前字符是目标字符，频率加一
			
			// 计算当前子串的贡献
			// 2*sum - j + n 是离散化后的值，用于避免负数
			cnt += cx(2 * sum - j + n);
			
			// 更新树状数组
			gx(2 * sum - j + n + 1);
		}
	}

5.输出及结束

	// 总子串数量 - 众数子串数量 = 非众数子串数量
	printf("%lld", 1ll * (n + 1) * n / 2 - cnt);
	return 0;//养成好习惯

以下是完整的代码，不会的同学可以参考仅供参考
~~爱惜账号，从我做起~~

#include<bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 5; // 定义最大字符串长度
typedef long long ll;//重定义，将 long long 定义为 ll（懒得写）
int n, t[maxn]; // n 为字符串长度，t 为树状数组
ll cnt; // 用于记录众数子串的数量
char s[maxn]; // 存储输入的字符串
// 计算树状数组的 lowbit
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
// 更新树状数组
inline void gx(int x) {
	for (; x<=n*3;x+=lowbit(x)) t[x]++;
}
// 查询树状数组的前缀和
inline int cx(int x,int res=0) {
	for (; x;x-=lowbit(x))res+=t[x];
	return res;
}
int main() {
	scanf("%s", s + 1);// 输入字符串
	n=strlen(s + 1); // 获取字符串长度
	// 遍历每个字符（a-z）
	for (int i = 0; i < 26; i++) {
		memset(t, 0, sizeof t); // 初始化树状数组
		int sum = 0; // 当前字符的频率
		// 遍历字符串中的每个位置
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			if (s[j] == i + 'a') sum++; // 如果当前字符是目标字符，频率加一
			// 计算当前子串的贡献
			// 2*sum - j + n 是离散化后的值，用于避免负数
			cnt += cx(2 * sum - j + n);
			
			// 更新树状数组
			gx(2 * sum - j + n + 1);
		}
	}
	// 总子串数量 - 众数子串数量 = 非众数子串数量
	printf("%lld", 1ll * (n + 1) * n / 2 - cnt);
	return 0;//养成好习惯
}

通过记录
看在

的份上，点个再走吧！！！