洛谷 B4135 [信息与未来 2014] 取数 题解

B4135 [信息与未来 2014] 取数 题解

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完整题目

B4135 [信息与未来 2014] 取数

题目描述

有 $n$ 个数排成一排，从 $n$ 个数中任取若干个数，取数规则为每次取相邻的 $2$ 个数，不能取 $1$ 个，也不能取多于 $2$ 个连续的数，找一种取法，使取到数的和为最大。

输入格式

第一行一个整数，表示 $n$；
第二行有 $n$ 个整数，表示 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$。

输出格式

一个整数，即合理取法中最大的和。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
13 2 17 14 8 16

输出 #1

43

说明/提示

$2\le n\le 10^5,1\le x_i\le 10^9$。

1. 读题

• 题意：在一个序列中任取若干个数，取数规则为每次取相邻的 2 个数，且不能取多于 2 个连续的数，使和最大。

• 样例解释（我一开始就没弄明白）：$1321714816$ 每次取相邻的 2 个数，且不能取多于 2 个连续的数，使和最大。

  • 第一次：$132\left[1714\right]816和为0+17+14=31$。

  • 第二次：$1321714\left[816\right]和为31+8+16=43$。

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2. 使用动态规划解决

• 动态转移方程推导

  • 情况一选择第 $i$ 个元素：若选择第 $i$ 个元素，就不能选取第 $i-1$ 个元素，就需要考虑前 $i-3$ 个元素的情况。此时选取的元素和为 $dp[i-3]+a[i-1]+a[i]$。其中，dp[i-3] 是考虑前 i-3 个元素的最大和，a[i-1] 和 a[i] 是当前选择的两个部相邻元素。

  • 情况二不选第 $i$ 个元素：若不选第 $i$ 个元素，那么最大元素和就同等于考虑前 $i-1$ 个元素时的最大元素和，即 dp[i-1]。因为不选第 $i$ 个元素，所以问题规模就缩小到了前 $i-1$ 个元素

• 因此，状态转移方程为 $dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-3]+a[i-1]+a[i]);$。

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3. 代码片段分析

由于此题只需要输入就可以直接套状态转移方程，就不给予分析了（一前面讲的是够详细了，二是我只能讲成这样了）。

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4. AC 代码

如上所述，没必要出示代码，但如果你是这种情况，我只能引用一句 OI 界的名言：

十年 OI 一场空，不开 long \hspace{1mm} long 见祖宗。

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