BZOJ 4567 [SCOI2016]背单词 (Trie树、贪心)

suncongbo

于 2019-06-17 19:27:00 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/suncongbo/article/details/92839094

博客围绕Trie树问题展开，将字符串倒过来变成前缀建Trie后转化题意。最初提出按儿子个数从小到大选的贪心算法被证明错误，给出hack数据。正确方案是按子树大小从小到大选，并给出了相关证明。强调贪心算法不能想当然，一定要证明。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4567

题解: 显然答案一定小于\(n\times n\), 字符串倒过来变成前缀建Trie, 题意转化如下:

每次可以在一棵树上标记一个点，要求标记一个点之前所有祖先都标记过，标记一个点的价值等于它父亲被标记的时间，最大化价值和(也可以是求所有父子标记时间之差的和的最小值)

一看到这个脑子里立刻蹦出一个贪心: 按照儿子个数从小到大选(用堆维护)

然而是错的

hack数据:

10
aaa
baa
caa
daa
eaa
aa
a
b
ab
bb

正确的方案是按子树大小从小到大选。这里提供一个不知道对不对的证明(其实是拼凑网上的其他题解):

(1) 最优答案一定是DFS序。这个按照父子时间差之和来理解，挺显然。(抱歉我水平有限也就能说到这个份上了……)

(2) DFS序中的最优答案一定是按子树大小从小到大选。感性理解是: 由于是DFS序我们可以只考虑根对答案产生的贡献，最小化根与其所有儿子的时间差之和。然后就相当于有一堆数给他们排序使得前缀和的和最小，然后就显然了……

教训: 贪心这种东西千万不能想当然，一定要证明！要证明！要证明！

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e5;
const int L = 5e5+1e4;
const int S = 26;
struct Edge
{
    int v,nxt;
} e[(N<<1)+3];
int son[L+3][S+1];
char str[L+3];
bool isky[L+3];
int sz[N+3];
int sonn[N+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
struct Element
{
    int u;
    Element() {}
    Element(int _u) {u = _u;}
    bool operator <(const Element &arg) const
    {
        return sz[u]>sz[arg.u];
    }
};
priority_queue<Element> que;
int n,siz,nn,en;

void insertstr(char str[],int len)
{
    int u = 1;
    for(int i=1; i<=len; i++)
    {
        if(!son[u][str[i]]) {siz++; son[u][str[i]] = siz;}
        u = son[u][str[i]];
    }
    isky[u] = true;
}

void addedge(int u,int v)
{
    printf("addedge %d %d\n",u,v);
    en++; e[en].v = v;
    e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}

void dfs0(int u,int anc)
{
    if(isky[u]) {nn++; addedge(nn,anc); addedge(anc,nn); sonn[anc]++; anc = nn;}
    for(int i=1; i<=S; i++)
    {
        int v = son[u][i];
        if(v)
        {
            dfs0(v,anc);
        }
    }
}

void dfs(int u)
{
    sz[u] = 1;
    for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].v==fa[u]) continue;
        fa[e[i].v] = u;
        dfs(e[i].v);
        sz[u] += sz[e[i].v];
    }
}

int main()
{
    siz = 1;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%s",str+1); int len = strlen(str+1);
        for(int j=1; j<=len; j++) str[j] -= 96;
        for(int j=1; j<=len+1-j; j++) swap(str[j],str[len+1-j]);
        insertstr(str,len);
    }
    nn = 1; dfs0(1,1);
    dfs(1);
    que.push(Element(1));
    llong ans = 0ll;
    for(int i=1; i<=nn; i++)
    {
        int u = que.top().u; que.pop();
        printf("%d\n",u);
        ans += sonn[u]*(i-1ll);
        for(int j=fe[u]; j; j=e[j].nxt)
        {
            if(e[j].v==fa[u]) continue;
            fa[e[j].v] = u;
            que.push(e[j].v);
        }
    }
    ans = n*(n+1ll)/2ll-ans;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}