#树状数组#BZOJ 4888 洛谷 3760 异或和

最新推荐文章于 2024-04-03 10:40:06 发布

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#树状数组 #洛谷 3760 异或和 #BZOJ 4888 异或和

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本文探讨了给定一系列数值时，如何高效计算所有可能区间内连续数值和的异或值。通过深入分析，提出了一种利用树状数组优化计算过程的方法，将时间复杂度从O(n^2)降低到O(nlog^2s[n])。文章详细解释了算法原理，并提供了实现代码。

题目

给定 $n$ 个数，求它们所有区间的连续和的异或值

分析

一定要把异或拆开，可以得到答案是
$∑k=02k≤sn2k×((∑i=1n∑j=0i−1((s[i]−s[j])>>k)&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;2)&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;2)\sum_{k=0}^{2^k\leq s_n}2^k\times ((\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{i-1}((s[i]-s[j])>>k)\bmod 2)\bmod 2)$
恭喜得到了一个比 $O(n^2)$ 还要慢的算法，所以
$k$ 和 $i$ 想要优化可能很困难，那么考虑优化 $j$
当 $s [i]$ 的第 $k$ 位为1时，能产生影响的情况：

第 $k$ 位不是1且前 $k - 1$ 位 $≤s[k]\leq s[k]$ 的前 $k - 1$ 位
第 $k$ 位是1且前 $k - 1$ 位 $> s [k]$ 的前 $k - 1$ 位

当 $s [i]$ 的第 $k$ 位为0时，能产生影响的情况：

第 $k$ 位不是1且前 $k - 1$ 位 $> s [k]$ 的前 $k - 1$ 位
第 $k$ 位是1且前 $k - 1$ 位 $≤s[k]\leq s[k]$ 的前 $k - 1$ 位

那么这可以用树状数组记录 $s$ 中二进制位上0或1的个数，从而把时间优化到 $O(nlog^2s[n])$
但是要注意树状数组记录的可能是0，所以要整体右移一位，而且貌似不用long long，而且树状数组要注意清空

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define rr register
using namespace std;
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans; 
}
int n,s[100001],lim,ans;
struct szsz{
    int c[1000101];
    inline void add(int x,int y){for (++x;x<=lim+1;x+=-x&x) c[x]+=y;}
    inline signed answ(int x){rr int ans=0; for (++x;x;x-=-x&x) ans+=c[x]; return ans;}
    inline signed aasw(int l,int r){return answ(r)-answ(l);}
}c0,c1;
signed main(){
    n=iut();
    for (rr int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+iut();
    for (rr int k=0;(1<<k)<=s[n];++k){
        lim=(1<<k)-1; rr int sum=0;
        for (rr int i=0;i<=n;++i){
            rr int now=s[i]&lim;
            if ((s[i]>>k)&1) sum+=c0.aasw(-1,now)+c1.aasw(now,lim),c1.add(now,1);
                else sum+=c1.aasw(-1,now)+c0.aasw(now,lim),c0.add(now,1);
        }
        ans+=(1<<k)*(sum&1),memset(c0.c,0,sizeof(c0.c)),memset(c1.c,0,sizeof(c1.c));
    }
    return !printf("%d",ans);
}