[Luogu P1447] [BZOJ 2005] [NOI2010]能量采集

洛谷传送门

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题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有$n$列，每列有$m$棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标$(x, y)$来表示，其中$x$的范围是$1$至$n$，表示是在第$x$列，$y$的范围是$1$至$m$，表示是在第$x$列的第$y$棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是$(0, 0)$。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有$k$棵植物，则能量的损失为$2k + 1$。例如，当能量汇集机器收集坐标为$(2, 4)$的植物时，由于连接线段上存在一棵植物$(1, 2)$，会产生$3$的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为$1$。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中$n = 5$，$m = 4$，一共有$20$棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了$36$的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数$n$和$m$。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4

输出样例#1：

36

输入样例#2：

3 4

输出样例#2：

20

说明

对于10%的数据：$1 ≤ n, m ≤ 10$；
对于50%的数据：$1 ≤ n, m ≤ 100$；
对于80%的数据：$1 ≤ n, m ≤ 1000$；
对于90%的数据：$1 ≤ n, m ≤ 10,000$；
对于100%的数据：$1 ≤ n, m ≤ 100,000$。

解题分析

对于一棵位于$(x,y)$的植物， 其损失的能量为$gcd(x,y)\times 2-1$， 所以总的损失能量为$2\times \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-nm$。

考虑如何化简这个式子。不妨设$n<m$。

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \\ =\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d] \\ =\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1] \\ =\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{k|gcd(i,j)}\mu(k) \\ =\sum_{d=1}^{n}d\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}{\lfloor \frac{n}{kd} \rfloor}{\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor}\mu(k)$$
考虑更换枚举项， 设 $T=kd$， 则有：
$$\\ =\sum_{d=1}^{n}d\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor}{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\mu(k) \\ =\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor \sum_{k|T}\mu(k)\times\frac{T}{k} \\ =\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor \times\phi(T)$$
$O(N)$预处理 $\phi(T)$， $O(N)$或 $O(\sqrt N)$（下底分块）回答询问。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define MX 100050
bool npr[MX];
int phi[MX], pri[MX], pcnt, n, m;
void getphi()
{
    phi[1] = 1; R int tar;
    for (R int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!npr[i]) pri[++pcnt] = i, phi[i] = i - 1;
        for (R int j = 1; j <= pcnt; ++j)
        {
            tar = pri[j] * i;
            if(tar > n) break;
            npr[tar] = true;
            if(!(i % pri[j])) {phi[tar] = phi[i] * pri[j]; break;}
            phi[tar] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}
int main(void)
{
    long long ans = 0;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    getphi();
    if(n > m) std::swap(n, m);
    for (R int i = 1; i <= n; ++i) ans += 1ll * (n / i) * (m / i) * phi[i];
    printf("%lld", ans * 2 -  1ll * n * m);//注意炸int
}