#数位dp#洛谷 4317 花神的数论题

数位DP求解二进制位1的乘积

最新推荐文章于 2024-11-02 10:13:04 发布

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本文介绍了一种使用数位动态规划（数位DP）的方法来解决一个特定的问题：求解从1到n的所有整数转换为二进制后，1的个数的乘积。通过定义状态dp[i]表示数值小于n的恰好有i个二进制位为1的数的个数，我们展示了如何通过递推公式更新状态，最终求得目标乘积。

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题目

设 $f [i]$ 表示 $i$ 转化为二进制后1的个数，求 $\prod_{i=1}^nf[i]$

分析

很容易发现，这应该是一道数位dp的题目，但是怎么做呢，设 $d p [i]$ 表示数值小于 $n$ 的恰好有 $k$ 个二进制位为1的数的个数，那么这就和 $n$ 有关系了，如果 $n$ 的第 $j$ 位是1，那么说明第 $j$ 位可以拓展，那么 $+ + d p [j]$ ,由于每一次算完之后只要在前面加上1就可以得到 $d p [j + 1]$ ，那么 $d p [j + 1] + = d p [j]$ ，最后dp完之后那么停留的那一位还是可以加上去的，所以最后的代码，感谢小粉兔

代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
const int mod=10000007;
typedef long long ll;
ll dp[51],n,ans=1,now;
inline ll ksm(ll x,ll y){
	rr ll ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(x*x)%mod)
	    if (y&1) ans=(ans*x)%mod;
	return ans;
}
signed main(){
	scanf("%lld",&n);
	for (rr ll j=49;~j;--j){
		for (rr ll i=49;i;--i) dp[i]+=dp[i-1];
		if (n>>j&1) ++dp[now],++now;
	}
	++dp[now];
	for (rr ll i=1;i<50;++i) ans=ans*ksm(i,dp[i])%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}