#概率和数学期望#JZOJ 3396 CH 3801 Rainbow的信号

本文深入探讨了位运算在概率论与数学期望中的应用，通过分析不同位运算（AND, OR, XOR）下随机变量的数学期望，提供了一种新颖的算法思路。文章详细解释了如何基于位运算特性计算特定条件下的概率，并给出了解决方案的代码实现。

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题目

在这里插入图片描述

分析

首先位运算没有进位，这样可以让它一位一位进行，如题所述，设 $x$ 表示 $a_i$ 的第 $k$ 位，当 $l = = r$ 的时候概率为 $1n2\frac{1}{n^2}$ ，然后当 $x = = 1$ 时数学期望为 $2kn2\frac{2^k}{n^2}$ 。
Then，当 $l < r$ 时，概率为 $2n2\frac{2}{n^2}$ ，对于 $a n d$ ，找到前面最后一个0的位置 $t$ ，那么可选的 $l$ 的个数，为 $r - t - 1$ 。
对于 $o r$ ，当 $x$ 为1，时为任何数，否则个数为最后一个1的位置
对于 $x o r$ ,当 $x$ 为1时就会改变个数，所以说每遇到 $1$ 的时候个数肯定是会交换的，具体就不多解释

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
int n,a[100001]; double sxor,sand,suor;
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
inline void answ(int k){
	rr int p0=0,p1=0,c1=0,c2=0;
	for (rr int i=1;i<=n;++i)
	if ((a[i]>>k)&1){
		sxor+=(1<<k)*1.0/n/n;
		sand+=(1<<k)*1.0/n/n;
		suor+=(1<<k)*1.0/n/n;
		sand+=(1<<k)*2.0/n/n*(i-1-p0);
		suor+=(1<<k)*2.0/n/n*(i-1);
		sxor+=(1<<k)*2.0/n/n*c1;
		++c1; c1^=c2,c2^=c1,c1^=c2; p1=i;
	}
	else{
	    suor+=(1<<k)*2.0/n/n*p1;
	    sxor+=(1<<k)*2.0/n/n*c2;
	    ++c1; p0=i;
	}
}
signed main(){
	n=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i) a[i]=iut();
    for (rr int i=0;i<30;++i) answ(i);
    printf("%.3lf %.3lf %.3lf",sxor,sand,suor);
	return 0;
}